Linealización logarítmica en el modelo RBC

Question

¿Puede alguien mostrar cómo aplicando la log-linealización podemos convertir esta ecuación:

$\frac{X_t}{C_t} = \left( (1 - \vartheta) + \vartheta \left( \frac{L_t}{C_t} \right)^{1-\nu} \right)^\frac{1}{1-\nu}$

en este:

$x_t - c_t = \frac{1}{1 - \nu} \frac{\vartheta \left( \frac{L}{C}\right)^{1-\nu} }{(1 - \vartheta) + \vartheta \left( \frac{L}{C}\right)^{1-\nu} } (1-\nu) (l_t - c_t)$

donde los valores sin el subíndice $t$ denotan valores en estado estacionario y los valores en caso menor denotan valores logarítmicos.

Answer 1

Tome el logaritmo natural, reescriba

$$x_t - c_t = \frac{1}{1 - v}\ln\left[ 1 - \theta + \theta e^{(1-v)(l_t - c_t)}\right]$$

Observe que no estoy haciendo nada, ya que $e^{(1-v)(l_t - c_t)}= (L_t/C_t)^{1-v}$

Sustituir $y_t = l_t - c_t$ y tomar una expansión de primer orden de Taylor alrededor de $l - c = 0$ (diferenciar con respecto a $y$ ), y observe que puede reescribir $1 = L/C$ y se obtiene la expresión.

P.D. ¿Estás seguro de que el último $l_t - c_t$ ¿no es una desviación logarítmica? En teoría, ¡se linealiza alrededor del estado estacionario!