Estructura informativa para una información completa

Question

Modelo

Un responsable de la toma de decisiones (DM) tiene que elegir la acción $y\in \mathcal{Y}$ posiblemente sin ser plenamente consciente del estado del mundo. $\mathcal{Y}$ es un conjunto finito.

El estado del mundo es una variable aleatoria $V$ con apoyo $\mathcal{V}$ . $\mathcal{V}$ no es un conjunto finito . Por ejemplo, $\mathcal{V}=[a,b]$ o $\mathcal{V}=\mathbb{R}$ .

Cuando el DM elige la acción $y\in \mathcal{Y}$ y el estado del mundo es $v\in \mathcal{V}$ recibe la recompensa $u(y,v)$ .

Dejemos que $P_V\in \Delta(\mathcal{V})$ es la idea previa del DM sobre el estado del mundo $V$ (función de densidad de probabilidad).

El DM también procesa algunas señales $T$ con apoyo $\mathcal{T}$ y distribución $P_{T|V}$ con la condición de $V$ para perfeccionar su anterior y conseguir un posterior en $V$ , denotado por $P_{V|T}$ mediante la regla de Bayes.

Dejemos que $S\equiv \{\mathcal{T}, P_{T|V}\}$ se llame "estructura de la información".

Una estrategia para el DM es $P_{Y|T}$ . Dicha estrategia es óptima si maximiza su beneficio esperado, donde la expectativa se calcula utilizando la posterioridad, $P_{V|T}$ .

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Pregunta

Me gustaría representar la estructura de información que da la información completa ("estructura de información completa") al DM. Cuando $\mathcal{V}$ es finito, esto es fácil: podemos establecer $\mathcal{T}=\mathcal{V}$ y $P_{T|V}(t|v)=1$ si $t=v$ y 0 en caso contrario. Cuando $\mathcal{V}$ no es finito, sin embargo, me cuesta encontrar una función de densidad de probabilidad adecuada.

Nota Una forma de representar la estructura informativa completa es establecer $|\mathcal{V}|=1$ . Este no es el camino que busco. No quiero "manipular" $\mathcal{V}$ para obtener la estructura de información deseada. Supongamos que $\mathcal{V}$ es fijo (por ejemplo $\mathcal{V}=\mathbb{R}$ ) y encontrar una densidad $P_{T|V}$ dando información completa al DM.

Answer 1

No toda distribución de probabilidad procede de una densidad. En particular, las masas puntuales no tienen densidad (con respecto a la medida de Lebesgue). En este caso, estar perfectamente informado requiere que la distribución condicional se concentre en el valor verdadero y, por tanto, no sea describible por una función de densidad. Si quieres que estas cosas sean rigurosas, tendrás que invertir en aprender algo de teoría de la medida.

Answer 2

Es básicamente la misma función, $P(t|v)=1$ si $t=v$ y cero en caso contrario.

Dejemos que $V$ sea un espacio de estados . Una estructura de información es un mapa $q:V\to \Delta(T)$ . $P$ y $q$ inducen una distribución sobre $V\times T$ Llámalo $Q$ . $P_{V|T}$ es la actualización bayesiana de $Q$ en $T$ . Así es como suelo ver este tipo de estructuras de información modeladas. Pero espero que puedas ver que es equivalente a cómo lo has introducido.

La estructura de información completa se definiría como sigue: Sea $\tau:V\to T$ sea una función inyectiva. Sea $t_v=\tau(v)$ Así que $v\neq v'$ entonces $t_v\neq t_{v'}$ . Sea $q(v)=\delta_{t_v}(\cdot)$ donde $\delta_t$ es la medida de Dirac en $t$

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_measure

$\delta_t(t')=1$ si $t=t'$ y cero en caso contrario, es decir $\delta_t(\cdot)$ pone toda su masa en $t$ .

Con este $q$ , $P_{V|T}(v|t)=1$ si $v=t_v$ y cero en caso contrario.

Es el mismo concepto que antes (1) $T$ es un reetiquetado de los estados en $V$ Así que $t_v$ corresponde a $v$ . (2) Tener $q$ simplemente anunciar el estado poniendo todo el peso en el estado reetiquetado, $q(v)(t_v)=1$ .