[Editado a la vista de los comentarios] [Intento de prueba] Tenemos un vector cuyos componentes son las cantidades reales de cada bien en un conjunto de bienes, $\vec{x_0} \in \mathbb{R}^n$ . Hacemos neoclásico estándar, Supuestos de von Neumann-Morgenstein sobre la función de utilidad, incluyendo que la utilidad es una transformación monótona de relaciones de preferencia y alguna función apropiadamente continua y diferenciable, $u(\vec{x}):\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ . La hipersuperficie de indiferencia 1 de $\vec{x_0}$ se define como el conjunto de paquetes $V(\vec{x}_0):=\{\vec{x}:\vec{x}\succcurlyeq\vec{x}_0, \vec{x} \in \mathbb{R}^n\}$ donde una relación de preferencia $\vec{x}\succcurlyeq\vec{x}_0 \implies u(\vec{x})\geq u(\vec{x}_0)$ . Para cualquier racional agente, dado un paquete arbitrario $\vec{x_0}$ el conjunto de indiferencia $V$ es un conjunto convexo como una implicación de la suposición de que marginal experiencias de utilidad rendimientos marginales decrecientes .
Dejemos que $\vec{x_i} \in V(\vec{x_0})$ . Ahora, $\vec{x_i} \succcurlyeq \vec{x_0}$ y así $u(\vec{x_i}) \geq u(\vec{x_0}).$ A partir de los supuestos de utilidad marginal decreciente, la utilidad es cóncava en cantidad con respecto al origen, $\frac{\delta^2u}{\delta\textbf{x}^2} < 0$ (o el hessian es negativo-definido o $u''(\vec{x}) < 0$ ). Como implicación de esto, para dos índices arbitrarios cualesquiera, $j,k \in \{1, \dots, |V|\}$ y algunos $\alpha \in [0,1]$ tenemos que la primera desigualdad débil de la utilidad a continuación se conserva:
\begin{align} u(\alpha \vec{x_j} + (1-\alpha)\vec{x_k}) &\geq u(\vec{x_j} + 0\cdot \vec{x_k}) \\ &\geq u( 0\cdot\vec{x_j} + \vec{x_k}) \\ & \geq u(\vec{x_j}) \\ & \geq u(\vec{x_0}) \\ \Big(\alpha \vec{x_j} + (1-\alpha)\vec{x_k}\Big) &\succcurlyeq \vec{x_0}\\ \implies \Big(\alpha \vec{x_j} + (1-\alpha)\vec{x_k}\Big) &\in V(\vec{x_0})\\ \implies V \text{ is a convex set.} \blacksquare \end{align}
Para dos haces arbitrarios cualesquiera en el conjunto preferido $V$ cualquier combinación afín de ellos es al menos tan útil como mantener las cantidades en un haz y poner el otro a cero. Y por extensión, tal combinación de haces es al menos tan útil como el $\vec{x_0}$ paquete. Si la utilidad es cóncava en las cantidades, una hipersuperficie de indiferencia de las cantidades que preserva la utilidad es convexa.
[1] (1.8) La condición [ $\vec{x}\succ\vec{x}_0 \implies u(\vec{x})> u(\vec{x}_0)$ ] implica que el conjunto $u(\vec{x}) = constant$ es una hipersuperficie... llamada hipersuperficie de indiferencia. (Cassels, 1981, p. 1)
[Mi intuición] Como un análogo simplificado en 2D, imagine la cantidad de un bien como $x_0$ y la cantidad de otro bien que produce la misma utilidad que $x_1 = V(x_0)$ . Aquí, es fácil ver que las parcelas de todas las combinaciones de $(x_0, x_1)$ es convexo al origen debido a la ley de los rendimientos marginales decrecientes. Cantidades bajas pero no triviales de cualquiera de los dos bienes producen la misma utilidad que cantidades muy altas de un bien y cantidades muy bajas del otro porque la utilidad como función de la cantidad es cóncava. Cualquier nueva coordenada es una combinación afín de otras coordenadas de cantidad en la curva (es decir, un punto en la línea que une las dos coordenadas) y preserva el nivel de utilidad $u(x_0, x_1)$ es decir, permanece en la curva o dentro de ella (en otras palabras, $V$ es un conjunto convexo).
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( Fuente )
Podemos generalizar esta idea hasta vectores de cantidades "en cualquier eje", es decir, haces, en lugar de escalares de un solo bien. Cualquier paquete de cantidades que sea una combinación afín de paquetes de cantidades indiferentes preserva la utilidad, lo que significa que dicho paquete de combinación también es preferido o indiferente a $\vec{x_0}$ . Así, cualquier combinación afín de paquetes indiferentes permanece en el hiperespacio de indiferencia o dentro de la región delimitada por él (es decir, el conjunto convexo).
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