Cómo encontrar la relación de precios $\frac{p_x}{p_y}$ ?

Question

(Pregunta) Supongamos que dos individuos forman una economía en la que cada uno dedica $10$ horas de trabajo para producir bienes $x$ y $y$ . Las utilidades de los agentes $S$ y $J$ sont $U_S(x,y) = x^{0.3}y^{0.7}$ y $U_J(x,y)=x^{0.5}y^{0.5}$ . Si los individuos no se preocupan de producir $x$ ou $y$ y la función de producción para cada bien viene dada por $x=2l$ y $y=3l$ donde $l$ es la mano de obra total dedicada a la producción de cada bien, hallar la relación de precios $\frac{p_x}{p_y}$ .

Tengo dos soluciones diferentes para esto:

1. (Solución 1) Supongamos que el precio del trabajo es $p_l$ en la economía. Para maximizar los beneficios en $x$ , $$\pi_x(l_x^J, l_x^S, p_x,p_l) = p_xx - p_ll = 2p_x(l_x^J+l_x^S)-p_l(l_x^J+l_x^S)$$

   La diferenciación nos da $p_l = 2p_x$ y si hacemos lo mismo en $y$ El problema de maximización de la empresa es el siguiente: "El problema de maximización de la empresa es el problema de maximización de la empresa". $$p_l = 2p_x = 3p_y$$ La relación de precios puede derivarse de esto como $3/2$ .

2. (Solución 2) Dado $x$ la frontera de posibilidades de producción viene dada por la ecuación $x/2 + y/3 = l_x + l_y = 20$ . La pendiente de esta ecuación en el punto óptimo nos da la relación de precios y es muy clara $3$ .

Mis preguntas sobre este problema:

• ¿Son correctas mis dos soluciones?
• ¿Por qué la pendiente de la Frontera de Posibilidad de Producción (FPP) en el óptimo $(x^*, y^*)$ ¿Igual a la relación de precios? Parece ser un problema de maximización de costes sujeto a la FPP.
• Una vez que conozco el PPF, ¿cómo encuentro el óptimo $(x^*, y^*)$ ¿digamos que para este problema? Conozco la forma habitual de equiparar la demanda y la oferta y también de maximizar los beneficios. Pero, ¿hay alguna manera de que nuestro conocimiento de la FPP pueda ser utilizado para encontrar $(x^*, y^*)$ ?

Answer 1

Para encontrar los precios de equilibrio competitivo $(p_X, p_Y, w=1)$ necesitamos encontrar la oferta de $X$ y $Y$ y el trabajo $L$ demanda de las dos empresas:

$\displaystyle\max_{x\geq 0,l_X\geq 0} p_Xx - l_X$ con sujeción a $x \leq 2l_X$

$\displaystyle\max_{y\geq 0,l_Y\geq 0} p_Yy - l_Y$ con sujeción a $y \leq 3l_Y$

Resolviendo los problemas anteriores se obtiene el suministro de $X$ y $Y$ como:

\begin{eqnarray*} x^s \in \begin{cases} \emptyset &\text{if } p_X > \frac{1}{2} \\ [0,\infty) &\text{if } p_X = \frac{1}{2} \\ \{0\} &\text{if } p_X < \frac{1}{2} \end{cases} \end{eqnarray*} y la correspondiente demanda laboral de $X$ est $l^d_X = \dfrac{x^s}{2}$ . \begin{eqnarray*} y^s \in \begin{cases} \emptyset &\text{if } p_Y > \frac{1}{3} \\ [0,\infty) &\text{if } p_Y = \frac{1}{3} \\ \{0\} &\text{if } p_Y < \frac{1}{3} \end{cases} \end{eqnarray*} y la correspondiente demanda laboral de $Y$ est $l^d_Y = \dfrac{y^s}{3}$ .

Esto descarta la posibilidad de que $p_X > \frac{1}{2}$ ou $p_Y > \frac{1}{3}$ en equilibrio. Por lo tanto, si el equilibrio existe, los beneficios óptimos serán $0$ .

Ahora podemos encontrar la demanda de $X$ y $Y$ resolviendo los siguientes problemas:

$\displaystyle\max_{x\geq 0,y\geq 0} x^{0.3}y^{0.7} $ con sujeción a $p_Xx + p_Yy \leq 10 $

$\displaystyle\max_{x\geq 0,y\geq 0} x^{0.5}y^{0.5} $ con sujeción a $p_Xx + p_Yy \leq 10 $

Resolviendo los problemas anteriores se obtiene la demanda de $X$ y $Y$ como:

$(x^d_S, y^d_S) = \left(\dfrac{3}{p_X}, \dfrac{7}{p_Y}\right)$

$(x^d_J, y^d_J) = \left(\dfrac{5}{p_X}, \dfrac{5}{p_Y}\right)$

Dado que las demandas de ambos bienes son siempre estrictamente positivas, la observación de la oferta descarta la posibilidad de $p_X < \frac{1}{2}$ ou $p_Y < \frac{1}{3}$ en equilibrio.

Por lo tanto, si el equilibrio existe, debe darse el caso de que $p_X = \frac{1}{2}$ y $p_Y = \frac{1}{3}$ . Ahora podemos comprobar que efectivamente es el equilibrio.

Los precios de equilibrio son $(p_X=\frac{1}{2}, p_Y=\frac{1}{3}, w=1)$ y las correspondientes cantidades de equilibrio de $X$ , $Y$ y $L$ son:

$x^d_S + x^d_J = 6 + 10 = 16 = x^s$

$y^d_S + y^d_J = 21 + 15 = 36 = y^s$

$l^d_X + l^d_Y = \dfrac{x^s}{2} + \dfrac{y^s}{3} = 8 + 12 = 20 = 10+10=l^s_S + l^s_J$

Answer 2

$\frac{p_x}{p_y}=\frac{3}{2}$ Porque si $\frac{p_x}{p_y}>\frac{3}{2}$ En este caso, ambas personas tendrán un incentivo para producir sólo x y luego utilizar los ingresos para comprar y en el mercado. Esto dará lugar a un aumento de $p_y$ . El proceso continuará hasta que $\frac{p_x}{p_y}=\frac{3}{2}$ . Análogamente, si $\frac{p_x}{p_y}<\frac{3}{2}$ Cada uno tiene un incentivo para producir sólo y y utilizar los ingresos para comprar x en el mercado. Esto dará lugar a un aumento de $p_x$ hasta llegar a la relación $\frac{p_x}{p_y}=\frac{3}{2}$ Esta explicación dice por qué la relación de precios debe ser la pendiente de la PPC. Ambas soluciones son correctas, salvo que en la segunda probablemente has cometido un error tipográfico, la pendiente del PPC es $\frac{3}{2}$ .