Su problema de maximización es $$ \max_{x_1,x_2} x_1 \cdot (300 - 2x_1) + x_2 \cdot (200-1.25x_2) - x_1 - x_2 $$ con sujeción a $x_1 + x_2 \leq \overline{x}$ donde $\overline{x}$ denota el presupuesto. La primera parte se denomina función del objetivo la desigualdad es una restricción .
Suponga que la restricción no se cumple (no se utilizará todo el presupuesto) y calcule los valores óptimos para $x_1,x_2$ . Comprueba si su importe es superior al presupuesto. Si no es así, ¡felicidades, ya está hecho!
Si la suma es mayor que el presupuesto, tendrá que hacer una optimización restringida o utilizar algún truco.
Enfoque 1. (Puede utilizar simplemente las derivadas).
Aquí puede escribir simplemente que $x_2 = \overline{x} - x_1$ es decir, siempre utilizamos la cantidad exacta que nos da el presupuesto, por lo que se cumple la restricción. Sustituyendo esta ecuación por $x_2$ en la función de meta. Calcular el máximo según $x_1$ .
Enfoque 2. (El enfoque geométrico.)
La restricción $x_1 + x_2 = \overline{x}$ define la línea de presupuesto; en el caso óptimo debería ser tangente a una curva de nivel de la función objetivo. Si se toman las derivadas parciales de la función objetivo y se establece su relación con la pendiente de la recta presupuestaria, se obtiene una condición de optimalidad. La otra ecuación es la de la propia recta presupuestaria. Dos ecuaciones, dos incógnitas. (Una observación: la recta presupuestaria define los precios relativos, para ser exactos la tasa a la que $x_1$ puede ser "transformado" en $x_2$ . Esta tasa es de 1).
Enfoque 3. (El método de Lagrange.)
Esto es más general y complicado que lo anterior, por lo que se enseña el método geométrico en su lugar. Para un tratamiento general, véase el Artículo de Wikipedia .
