Definición de rendimiento continuamente compuesto para el bono de cupón perpetuo incumplible

Question

En la fijación de precios de los activos en tiempo continuo, el precio de un bono con cupón perpetuo incumplible viene dado por $$P(V) = \frac{c}{r}\left[ 1- \left(\frac{V}{V_b}\right)^{-\gamma}\right] + (1-\alpha)V_b \left(\frac{V}{V_b}\right)^{-\gamma}$$

donde $c$ es el tipo del cupón, $r$ es el tipo de interés, $V$ es el activo subyacente (distribuido como un GBM), $V_b$ es la barrera por defecto, y $(1-\alpha)$ es la tasa de recuperación por defecto.

¿Cómo se calcula el rendimiento compuesto continuo? $r^d$ para este activo?

Con vencimiento y sin riesgo de impago, suele definirse a partir de la fórmula $P_t = e^{- r^d(T-t)}$ Pero al tratarse de un bono perpetuo y amortizable, esta fórmula no se aplica.

Answer 1

Se podría equiparar la función de valor con una serie infinita de flujos de caja descontados, descontados al rendimiento. Suponiendo un tipo de cupón continuo y un rendimiento continuo $r^d$ :

$$r^d:P(V) \stackrel{!}{=} c\int_0^{\infty}e^{-r^dt}\mathrm{d}t=\frac{c}{r^d}\Rightarrow r^d=\frac{P(V)}{c}$$

En su ecuación, si la tasa de recuperación por defecto $(1-\alpha)$ es cero, llegarías al práctico resultado:

$$r^d=\frac{P(V)}{c}=\frac{1}{r}\left[1-\left(\frac{V}{V_b}\right)^{-\gamma}\right]$$