Explicación de Hagan sobre el modelo de Volatilidad Local

Question

Una larga historia acortada : Pregunto por qué la función de Volatilidad Local puede pensarse como una función del subyacente, cuando en realidad parece ser la función de la huelga.

Una larga historia :

El conocido Dupire la fórmula de la volatilidad local es:

$$\sigma_{loc}(K,T)^2 =2\frac{\frac{\partial}{\partial T}(C)+rK\frac{\partial}{\partial K}(C)}{K^2\frac{\partial^2}{\partial K^2}(C)}$$

Arriba, $C$ es el precio de la opción Call, y $\sigma_{loc}(K,T)$ es una función de "volatilidad local" que depende del strike y del vencimiento. Supongamos que el subyacente es un instrumento denominado $S(t)$ con el precio de hoy, que es de $S_0$ (notación diferente a la del documento de Hagan, pero tened paciencia conmigo: Me reservo $f$ para la función de densidad de probabilidad del subyacente).

La idea principal del modelo de volatilidad local es que para un "continuo" de precios de opciones Call a través de los strikes y los vencimientos, podemos obtener una función de volatilidad continua para cualquier strike y vencimiento a partir de estos precios Call simplemente calculando las derivadas parciales de las Calls con respecto al strike y con respecto al vencimiento.

En su documento seminal, Hagan escribe:

Consideremos el caso especial en el que la volatilidad local es una función de $S$ sólo: $$dS_t=\sigma_{loc}(S)S_tdW$$ ...Los precios de las Call y Put europeas vienen dados por la fórmula de Black con la volatilidad implícita: $$\tag{1}\sigma_B(K,S)=\sigma_{loc}\left(\frac{1}{2}(S+K)\right)+HigherOrderTerms$$ (véanse las fórmulas (2.7) y (2.8) en una copia del documento al que se proporciona un enlace al final).

Tengo las siguientes preguntas:

• Pregunta 1 : Supongo que el caso especial de Hagan en el que el vol local es una función de $S$ sólo se refiere a un punto fijo en el tiempo en el que sólo nos centramos en una determinada sonrisa bidimensional (así que efectivamente podemos eliminar la derivada parcial con respecto a $T$ en la fórmula de Dupire). Sin embargo, ¿cómo se convierte entonces la función de volatilidad local en una función del subyacente $S$ ? Si se calcula la derivada parcial de la opción de compra con respecto al precio de ejercicio, se obtiene lo siguiente (los tipos se suponen nulos), $f_{S_T}(h)$ es la FDP del subyacente al vencimiento de la opción):

$$C(S_0,T,K,\sigma)=\mathbb{E}^Q\left[(S_T-K)\mathbb{I}_{S_T>K}\right]=\int_{h=K}^{\infty}(h-K)f_{S_T}(h)dh=\\=\int_{-\infty}^{\infty}hf_{S_T}(h)dh-\int_{-\infty}^{h=K}hf_{S_T}(h)dh-\int_{-\infty}^{\infty}Kf_{S_T}(h)dh+\int_{-\infty}^{h=K}Kf_{S_T}(h)dh$$ y tomando la derivada: $$\frac{\partial C}{\partial K}=0-Kf_{S_T}(K)-1+\left(\mathbb{P}(S_T<K)+Kf_{S_T}(K)\right)$$ y diferenciando de nuevo: $$\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}=f_{S_T}(K)$$

Vemos que las derivadas parciales son funciones de $K$ . ¿Cómo se convierten en funciones de lo subyacente? Mi opinión es que las huelgas son "fijas" y la PDF del subyacente se centra en $S_0$ , por lo que efectivamente, $f_{S_T}(K)$ es una función del distancia de $K$ de $S_0$ : así que como $S_t$ cambios, $f_{S_T}(S_t)$ también cambia para cada $K$ ; ¿es esto correcto? ?

Hagan continúa con:

La volatilidad implícita depende tanto de la huelga $K$ y el precio actual $S_0$ ( ¿no es esto una contradicción con decir que sólo depende de $S$ ?? ). Supongamos que hoy el precio del subyacente es $S_0$ y la curva de volatilidad implícita que se observa en el mercado es $\sigma_B(K)$ . Calibrar el modelo con el mercado requiere claramente elegir la volatilidad local que será: $$\tag{2}\sigma_{loc}(S_t)=\sigma_{B}(2S_t-S_0)$$

• Pregunta 2 : ¿Cómo se deduce la ecuación (2) de la ecuación (1)?

El documento de Hagan : " Gestionar el riesgo de la sonrisa ", Hagan et al (2002)

Answer 1

La SDE de volatilidad local $$dS_t = \sigma_{LV}(S_t,t)S_t dW_t$$ es el punto de partida. (Algunos absorben la $S_t$ en $\sigma_{LV}(S_t,t)$ pero vamos a mantenerlos separados aquí).

Partiendo de esta SDE hay dos formas de derivar la ecuación de Dupire:

1. Utilizando el teorema de Feynman-Kac para derivar la ecuación de Kolmogorov / Fokker-Planck hacia adelante de la que se deriva la ecuación de Dupire. Esta es la forma más general, y la ruta que siguió Dupire.

2. Utilizando la fórmula de Tanaka y el condicionamiento para mostrar que la ecuación de Dupire se satisface si la volatilidad local se considera como una expectativa condicional de una volatilidad estocástica $$\begin{align} dS_t &= \sigma_t S_t \left(\rho dW_t + \sqrt{1-\rho^2} dZ_t \right) \\ d\sigma_t &= a(\sigma_t,t) dt + b(\sigma_t,t) dW_t \end{align}$$ donde $W$ y $Z$ son movimientos brownianos estándar independientes, y $\rho \in (-1,1)$ . Debido a que (se mostrará en breve) en este caso LV se considera como una expectativa condicional de SV, y hay funciones LV que no se pueden escribir como una expectativa condicional de SV, esta no es la derivación más general. Pero, sin embargo, es útil porque (creo) es más fácil entender cómo se obtiene $\sigma_{LV}(K,T)$ cuando se empezó con $\sigma_{LV}(S_t,t)$ .

Por lo tanto, se procede con el método 2:

La fórmula de Tanaka es una generalización de la fórmula de Ito para funciones discontinuas. En otras palabras, nos permite escribir $$d(S_u - K)_+ = \theta(S_u-K) dS_u + \frac12 \delta(S_u-K) (dS_u)^2$$ donde $\theta$ es la función de Heaviside y $\delta$ la función delta de Dirac.

Integrar las dos partes de $t$ a $T$ da $$\begin{align} \int_t^T d(S_u - K)_+ &= (S_T-K)_+ - (S_t - K)_+ \\ &= \int_t^T \theta(S_u-K) dS_u + \frac12 \int_t^T \sigma_u^2 S_u^2 \delta (S_u - K) du \end{align}$$

Ahora toma las expectativas, y usando el hecho de que $S_t$ es la deriva menos (la generalización para incluir $r,q$ es sencillo), $$C(S_t,t,K,T) = (S_t - K)_+ + \frac12 \int_t^T E_t \left[ \sigma_u^2 S_u^2 \delta (S_u - K) \right] du$$ donde se supone que se satisfacen las condiciones técnicas necesarias para tomar la expectativa dentro de la integral.

Aplicar el acondicionamiento: $$\begin{align} E_t \left[ \sigma_u^2 S_u^2 \delta (S_u - K) \right] &= E_t \left[ S_u^2 \delta(S_u-K) E_t \left[\left. \sigma_u^2 \right| S_u \right] \right] \\ &= \int_0^\infty x^2 \delta(x-K) E_t \left[ \left.\sigma_u^2 \right| S_u = x \right] q(x,u;S_t,\sigma_t) dx \end{align}$$ donde $q(x,u;S_t,\sigma^2_t)$ es la densidad de $S_u$ (en el momento $u$ ) dado $\sigma^2_t$ y $S_t$ .

El efecto de la función delta de Dirac es, entonces, el de singularizar $x = K$ lo que lleva a $$E_t \left[ \sigma_u^2 S_u^2 \delta (S_u - K) \right] = K^2 q(K,u;S_t,\sigma^2_t) E_t \left[ \left.\sigma_u^2 \right| S_u = K \right]$$ Así que, $$C(S_t,t,K,T) = (S_t - K)_+ + \frac12 \int_t^T K^2 q(K,u;S_t,\sigma^2_t) E_t \left[ \left.\sigma_u^2 \right| S_u = K \right] du$$

Ahora utiliza el hecho de que (por Breeden-Litzenberger) $$q(K,u;S_t,\sigma^2_t) = \frac{\partial^2}{\partial K^2} C(S_t,t,K,u)$$ para obtener $$C(S_t,t,K,T) = (S_t - K)_+ + \frac12 \int_t^T E_t \left[ \left.\sigma_u^2 \right| S_u = K \right] K^2 \frac{\partial^2}{\partial K^2} C(S_t,t,K,u) du$$ El último paso es diferenciar ambas partes con respecto a la fecha de vencimiento $T$ : $$\frac{\partial}{\partial T} C(S_t,t,K,T) = \frac12 E_t \left[ \left.\sigma_T^2 \right| S_T = K \right] K^2 \frac{\partial^2}{\partial K^2} C(S_t,t,K,T)$$

Esta es la ecuación de Dupire con $$\sigma^2_{LV}(K,T) = E_t \left[ \left.\sigma_T^2 \right| S_T = K \right]$$

Por último, para responder a su primera pregunta, ¿qué $\sigma^2_{LV}(K,T)$ significa que si en el momento $T$ las acciones toman valor $S_T=K$ entonces la volatilidad local $\sigma^2_{LV}(S_T,T) = \sigma^2_{LV}(K,T)$ . Aquí $K,T$ son arbitrarios en el sentido de que se supone que se tienen opciones para todos los strikes y fechas de vencimiento. En otras palabras, cuando se valoran las opciones exóticas, y se necesita simular el precio de las acciones e introducir todos los posibles valores futuros de $\sigma^2_{LV}(S_u = \{K\},u)$ En el caso de los precios de mercado, se pueden encontrar estos valores a partir de los precios de mercado observables actuales.

Creo que la respuesta a su segunda pregunta está clara.