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Explicación de Hagan sobre el modelo de Volatilidad Local

Una larga historia acortada : Pregunto por qué la función de Volatilidad Local puede pensarse como una función del subyacente, cuando en realidad parece ser la función de la huelga.

Una larga historia :

El conocido Dupire la fórmula de la volatilidad local es:

σloc(K,T)2=2T(C)+rKK(C)K22K2(C)

Arriba, C es el precio de la opción Call, y σloc(K,T) es una función de "volatilidad local" que depende del strike y del vencimiento. Supongamos que el subyacente es un instrumento denominado S(t) con el precio de hoy, que es de S0 (notación diferente a la del documento de Hagan, pero tened paciencia conmigo: Me reservo f para la función de densidad de probabilidad del subyacente).

La idea principal del modelo de volatilidad local es que para un "continuo" de precios de opciones Call a través de los strikes y los vencimientos, podemos obtener una función de volatilidad continua para cualquier strike y vencimiento a partir de estos precios Call simplemente calculando las derivadas parciales de las Calls con respecto al strike y con respecto al vencimiento.

En su documento seminal, Hagan escribe:

Consideremos el caso especial en el que la volatilidad local es una función de S sólo: dSt=σloc(S)StdW ...Los precios de las Call y Put europeas vienen dados por la fórmula de Black con la volatilidad implícita: σB(K,S)=σloc(12(S+K))+HigherOrderTerms (véanse las fórmulas (2.7) y (2.8) en una copia del documento al que se proporciona un enlace al final).

Tengo las siguientes preguntas:

  • Pregunta 1 : Supongo que el caso especial de Hagan en el que el vol local es una función de S sólo se refiere a un punto fijo en el tiempo en el que sólo nos centramos en una determinada sonrisa bidimensional (así que efectivamente podemos eliminar la derivada parcial con respecto a T en la fórmula de Dupire). Sin embargo, ¿cómo se convierte entonces la función de volatilidad local en una función del subyacente S ? Si se calcula la derivada parcial de la opción de compra con respecto al precio de ejercicio, se obtiene lo siguiente (los tipos se suponen nulos), fST(h) es la FDP del subyacente al vencimiento de la opción):

C(S0,T,K,σ)=EQ[(STK)IST>K]=h=K(hK)fST(h)dh==hfST(h)dhh=KhfST(h)dhKfST(h)dh+h=KKfST(h)dh y tomando la derivada: CK=0KfST(K)1+(P(ST<K)+KfST(K)) y diferenciando de nuevo: 2CK2=fST(K)

Vemos que las derivadas parciales son funciones de K . ¿Cómo se convierten en funciones de lo subyacente? Mi opinión es que las huelgas son "fijas" y la PDF del subyacente se centra en S0 , por lo que efectivamente, fST(K) es una función del distancia de K de S0 : así que como St cambios, fST(St) también cambia para cada K ; ¿es esto correcto? ?

Hagan continúa con:

La volatilidad implícita depende tanto de la huelga K y el precio actual S0 ( ¿no es esto una contradicción con decir que sólo depende de S ?? ). Supongamos que hoy el precio del subyacente es S0 y la curva de volatilidad implícita que se observa en el mercado es σB(K) . Calibrar el modelo con el mercado requiere claramente elegir la volatilidad local que será: σloc(St)=σB(2StS0)

  • Pregunta 2 : ¿Cómo se deduce la ecuación (2) de la ecuación (1)?

El documento de Hagan : " Gestionar el riesgo de la sonrisa ", Hagan et al (2002)

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steven Teal Puntos 81

La SDE de volatilidad local dSt=σLV(St,t)StdWt es el punto de partida. (Algunos absorben la St en σLV(St,t) pero vamos a mantenerlos separados aquí).

Partiendo de esta SDE hay dos formas de derivar la ecuación de Dupire:

  1. Utilizando el teorema de Feynman-Kac para derivar la ecuación de Kolmogorov / Fokker-Planck hacia adelante de la que se deriva la ecuación de Dupire. Esta es la forma más general, y la ruta que siguió Dupire.

  2. Utilizando la fórmula de Tanaka y el condicionamiento para mostrar que la ecuación de Dupire se satisface si la volatilidad local se considera como una expectativa condicional de una volatilidad estocástica dSt=σtSt(ρdWt+1ρ2dZt)dσt=a(σt,t)dt+b(σt,t)dWt donde W y Z son movimientos brownianos estándar independientes, y ρ(1,1) . Debido a que (se mostrará en breve) en este caso LV se considera como una expectativa condicional de SV, y hay funciones LV que no se pueden escribir como una expectativa condicional de SV, esta no es la derivación más general. Pero, sin embargo, es útil porque (creo) es más fácil entender cómo se obtiene σLV(K,T) cuando se empezó con σLV(St,t) .

Por lo tanto, se procede con el método 2:

La fórmula de Tanaka es una generalización de la fórmula de Ito para funciones discontinuas. En otras palabras, nos permite escribir d(SuK)+=θ(SuK)dSu+12δ(SuK)(dSu)2 donde θ es la función de Heaviside y δ la función delta de Dirac.

Integrar las dos partes de t a T da Ttd(SuK)+=(STK)+(StK)+=Ttθ(SuK)dSu+12Ttσ2uS2uδ(SuK)du

Ahora toma las expectativas, y usando el hecho de que St es la deriva menos (la generalización para incluir r,q es sencillo), C(St,t,K,T)=(StK)++12TtEt[σ2uS2uδ(SuK)]du donde se supone que se satisfacen las condiciones técnicas necesarias para tomar la expectativa dentro de la integral.

Aplicar el acondicionamiento: Et[σ2uS2uδ(SuK)]=Et[S2uδ(SuK)Et[σ2u|Su]]=0x2δ(xK)Et[σ2u|Su=x]q(x,u;St,σt)dx donde q(x,u;St,σ2t) es la densidad de Su (en el momento u ) dado σ2t y St .

El efecto de la función delta de Dirac es, entonces, el de singularizar x=K lo que lleva a Et[σ2uS2uδ(SuK)]=K2q(K,u;St,σ2t)Et[σ2u|Su=K] Así que, C(St,t,K,T)=(StK)++12TtK2q(K,u;St,σ2t)Et[σ2u|Su=K]du

Ahora utiliza el hecho de que (por Breeden-Litzenberger) q(K,u;St,σ2t)=2K2C(St,t,K,u) para obtener C(St,t,K,T)=(StK)++12TtEt[σ2u|Su=K]K22K2C(St,t,K,u)du El último paso es diferenciar ambas partes con respecto a la fecha de vencimiento T : TC(St,t,K,T)=12Et[σ2T|ST=K]K22K2C(St,t,K,T)

Esta es la ecuación de Dupire con σ2LV(K,T)=Et[σ2T|ST=K]

Por último, para responder a su primera pregunta, ¿qué σ2LV(K,T) significa que si en el momento T las acciones toman valor ST=K entonces la volatilidad local σ2LV(ST,T)=σ2LV(K,T) . Aquí K,T son arbitrarios en el sentido de que se supone que se tienen opciones para todos los strikes y fechas de vencimiento. En otras palabras, cuando se valoran las opciones exóticas, y se necesita simular el precio de las acciones e introducir todos los posibles valores futuros de σ2LV(Su={K},u) En el caso de los precios de mercado, se pueden encontrar estos valores a partir de los precios de mercado observables actuales.

Creo que la respuesta a su segunda pregunta está clara.

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