Una larga historia acortada : Pregunto por qué la función de Volatilidad Local puede pensarse como una función del subyacente, cuando en realidad parece ser la función de la huelga.
Una larga historia :
El conocido Dupire la fórmula de la volatilidad local es:
σloc(K,T)2=2∂∂T(C)+rK∂∂K(C)K2∂2∂K2(C)
Arriba, C es el precio de la opción Call, y σloc(K,T) es una función de "volatilidad local" que depende del strike y del vencimiento. Supongamos que el subyacente es un instrumento denominado S(t) con el precio de hoy, que es de S0 (notación diferente a la del documento de Hagan, pero tened paciencia conmigo: Me reservo f para la función de densidad de probabilidad del subyacente).
La idea principal del modelo de volatilidad local es que para un "continuo" de precios de opciones Call a través de los strikes y los vencimientos, podemos obtener una función de volatilidad continua para cualquier strike y vencimiento a partir de estos precios Call simplemente calculando las derivadas parciales de las Calls con respecto al strike y con respecto al vencimiento.
En su documento seminal, Hagan escribe:
Consideremos el caso especial en el que la volatilidad local es una función de S sólo: dSt=σloc(S)StdW ...Los precios de las Call y Put europeas vienen dados por la fórmula de Black con la volatilidad implícita: σB(K,S)=σloc(12(S+K))+HigherOrderTerms (véanse las fórmulas (2.7) y (2.8) en una copia del documento al que se proporciona un enlace al final).
Tengo las siguientes preguntas:
- Pregunta 1 : Supongo que el caso especial de Hagan en el que el vol local es una función de S sólo se refiere a un punto fijo en el tiempo en el que sólo nos centramos en una determinada sonrisa bidimensional (así que efectivamente podemos eliminar la derivada parcial con respecto a T en la fórmula de Dupire). Sin embargo, ¿cómo se convierte entonces la función de volatilidad local en una función del subyacente S ? Si se calcula la derivada parcial de la opción de compra con respecto al precio de ejercicio, se obtiene lo siguiente (los tipos se suponen nulos), fST(h) es la FDP del subyacente al vencimiento de la opción):
C(S0,T,K,σ)=EQ[(ST−K)IST>K]=∫∞h=K(h−K)fST(h)dh==∫∞−∞hfST(h)dh−∫h=K−∞hfST(h)dh−∫∞−∞KfST(h)dh+∫h=K−∞KfST(h)dh y tomando la derivada: ∂C∂K=0−KfST(K)−1+(P(ST<K)+KfST(K)) y diferenciando de nuevo: ∂2C∂K2=fST(K)
Vemos que las derivadas parciales son funciones de K . ¿Cómo se convierten en funciones de lo subyacente? Mi opinión es que las huelgas son "fijas" y la PDF del subyacente se centra en S0 , por lo que efectivamente, fST(K) es una función del distancia de K de S0 : así que como St cambios, fST(St) también cambia para cada K ; ¿es esto correcto? ?
Hagan continúa con:
La volatilidad implícita depende tanto de la huelga K y el precio actual S0 ( ¿no es esto una contradicción con decir que sólo depende de S ?? ). Supongamos que hoy el precio del subyacente es S0 y la curva de volatilidad implícita que se observa en el mercado es σB(K) . Calibrar el modelo con el mercado requiere claramente elegir la volatilidad local que será: σloc(St)=σB(2St−S0)
- Pregunta 2 : ¿Cómo se deduce la ecuación (2) de la ecuación (1)?
El documento de Hagan : " Gestionar el riesgo de la sonrisa ", Hagan et al (2002)