Para derivar esto, querrás usar el teorema de Frisch-Waugh-Lovell.
Usando la variable verdadera, $x_2$, deja que $\widetilde{x_2}$ sea el residual de una regresión de $x_2$ en $x_1$,
$$x_2 = \delta_0 +\delta_1 x_1 +\widetilde{x_2}$$ Tenemos entonces,
$$\bar{x_2} = \delta_0 +\delta_1 x_1 +e +\widetilde{x_2}$$
El residuo de una regresión de $\bar{x_2}$ en $x_1$ es $(e +\widetilde{x_2})$.
De acuerdo con el teorema de Frisch-Waugh-Lovell, la estimación OLS del coeficiente para $x_2$ en tu modelo de estimación será la misma que la estimación OLS de
$$y_i = \alpha_0 +\alpha_2 (e_i +\widetilde{x_{2i}}) + u_i$$
Entonces tenemos $$\hat{\alpha_2} = \frac{Cov(y_i, (e_i +\widetilde{x_{2i}}))}{Var(e_i +\widetilde{x_{2i}})}$$
Deberás sustituir $y_i = \alpha_0 +\alpha_{1i} x_1 +\alpha_2 x_{2i}+u_i$, y notar que $Cov(x_{1i}, \widetilde{x_{2i}})=0$ porque $\widetilde{x_{2i}}$ es el residual de una regresión OLS con $x_1$ como regresor. Para continuar, necesitarás hacer una suposición con respecto a $Cov(x_{1i}, e_i))$ y $Cov(u_{i}, e_i))$.
Para estimar el efecto de $x_1$ en $y$, necesitamos considerar una regresión de $x_1$ en $x_2$.
$$x_1 = a_0 +a_1 x_2 + \widetilde{x_1}$$
Usando la versión errónea de $x_2$,
$$x_1 = a_0 +a_1 \bar{x_2} - a_1e + \widetilde{x_1} $$
El residual es $(- a_1e + \widetilde{x_1})$.
Aplicamos el teorema de Frisch-Waugh-Lovell para saber que la estimación del coeficiente de $x_1$ es la misma que la estimación de,
$$y_i = \alpha_0 +\alpha_1 (- a_1e + \widetilde{x_1}) + u_i$$
Esto es $$\hat{\alpha_1} = \frac{Cov(y_i, (- a_1e + \widetilde{x_1}))}{Var(- a_1e + \widetilde{x_1})}$$
Al igual que antes, deberás sustituir $y_i = \alpha_0 +\alpha_{1i} x_1 +\alpha_2 x_{2i}+u_i$, y notar que $Cov(x_{2i}, \widetilde{x_{1i}})=0$ porque $\widetilde{x_{1i}}$ es el residual de una regresión OLS con $x_2$ como regresor. Para continuar, necesitarás hacer una suposición con respecto a $Cov(x_{1i}, e_i))$ y $Cov(u_{i}, e_i))$.
