Estoy trabajando con un libro de texto que deriva la siguiente ecuación de primer orden (Euler) entre períodos $t$ y $t+1$ . Terminamos con: $$ -C_{j,t}^{-\sigma}+\beta E_{t}\left\{ \left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)\left[\left(1-\delta\right)P_{t+1}+R_{t+1}\right]\right\} =0 $$ Las variables tienen los significados habituales, como $P,R$ y $C$ representan los precios, los tipos de interés y el consumo, respectivamente, y $t$ índices tiempo. Los precios y los tipos de interés del próximo período son desconocidos, lo que lleva a el operador de expectativas. El autor lo simplifica a continuación: $$ \left(\frac{E_{t}C_{j,t+1}}{C_{j,t}}\right)^{\sigma}=\beta\left[\left(1-\delta\right)+E_{t}\left(\frac{R_{t+1}}{P_{t+1}}\right)\right] $$ Esto me parece un uso descuidado del operador de expectativas sin ninguna supuestos adicionales. Por ejemplo, simplificando la primera expresión se obtiene: \begin{align*} C_{j,t}^{-\sigma} & =\beta E_{t}\left\{ \left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)\left[\left(1-\delta\right)P_{t+1}+R_{t+1}\right]\right\} \\ & =\beta E_{t}\left(\left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)\left(1-\delta\right)P_{t+1}\right)+\beta E_{t}\left(\left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)R_{t+1}\right)\\ & =\beta\left(1-\delta\right)E_{t}\left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)+\beta E_{t}\left(\left(\frac{C_{j,t+1}^{-\sigma}}{P_{t+1}}\right)R_{t+1}\right) \end{align*} A partir de aquí, no hay más espacio para la simplificación, a menos que se haga restrictivas (y poco realistas) sobre la naturaleza de las variables aleatorias variables aleatorias en $t+1.$ En particular, el consumo de mañana dependerá de los precios relativos y de los tipos de interés, por lo que no podemos utilizar el hecho de que $E[XY]=E[X]E[Y].$ ¿Cómo podemos simplificar la expresión anterior para obtener lo que el autor ha hecho? Gracias por su tiempo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una suposición formal y el hecho de ignorar dos veces la desigualdad de Jensen puede conducir a la aproximación.
SUPUESTO FORMAL
$$ {\rm Cov} \left[C_{j,t+1}^{-\sigma}, \,\frac{R_{t+1}}{P_{t+1}}\right] =0. $$ Técnicamente, esto no significa que asumamos que los dos componentes son independientes, sólo que su covarianza es cero. Pueden presentar una dependencia no lineal. El hecho de que estemos ante una función no lineal del consumo (recíproca y elevada a una potencia) puede considerarse un "argumento" de apoyo.
IGNORANDO DOS VECES LA DESIGUALDAD DE JENSEN
...aproximando $$E_t\left[\frac{1}{C_{j,t+1}^{\sigma}}\right] \approx \frac{1}{\left[E_tC_{j,t+1}\right]^{\sigma}}.$$
En función del valor de $\sigma$ En este caso, el ojo ciego tiende a contrarrestar el efecto del otro ojo ciego o a intensificarlo.
Acepte estos pasos por su cuenta y riesgo.
