Árbol binomial Vol

Question

Supongamos que tenemos una acción $X_t$ valorado en 100 euros por acción. En cada paso de tiempo el precio puede subir o bajar 1 euro con probabilidad $1/2$ . Suponiendo que los tipos de interés sean $0$ y la volatilidad del activo en el momento $t$ se define como

$$vol(X_t)=\frac{\sqrt{\mathbb{E}[X_{t+1}^2\mid X_t]-\mathbb{E}[X_{t+1}\mid X_t]^2}}{X_t}$$ podemos derivar una fórmula cerrada para la volatilidad en función de $X_t$ ?

Hace $vol$ aumenta cuando el precio sube?

Answer 1

El primer término bajo el cuadrado es \begin{align}\frac{(X_t + 1)^2 + (X_t - 1)^2}{2} &= \frac{X_t^2 + 2X_t + 1 + X_t^2 - 2X_t + 1}{2} \\ &=X_t^2 + 1, \end{align} el segundo término es $X_t^2$ . Así que $$\mathrm{vol}(X_t) = \frac{1}{X_t}.$$