Supongamos que hay un vendedor que siempre me venderá una opción que vence en dos semanas. Sus opciones se negocian a un fuerte descuento, pero no puedo arbitrar directamente porque el contrato negociado en bolsa más cercano vence en 4 semanas. ¿Hay algo que pueda hacer, aparte de esperar dos semanas?
En general, ¿hay alguna forma de replicar una opción con un tiempo de vencimiento $t$ negociando en otra con vencimiento $T > t$?
Desde un punto de vista teórico, no hay razón para creer que esto no sea posible:
Sea $B_t=e^{rt}$ la cuenta del mercado monetario. Para vencimientos $T_1 sea $C_i(t,S_t)$ el valor de la opción con vencimiento $T_i$ en el tiempo $t$. Sabemos que \begin{align} dC_1(t,S_{t})&=\partial_SC_1(t,S_t)\,dS_t+\frac{C_1(t,S_t)-\partial_SC_1(t,S_t)}{B_t}\,dB_t\\ dC_2(t,S_{t})&=\partial_SC_2(t,S_t)\,dS_t+\frac{C_2(t,S_t)-\partial_SC_2(t,S_t)}{B_t}\,dB_t\\ \end{align} lo cual dice como las opciones $C_1,C_2$ son tradicionalmente replicadas mediante operaciones en el activo subyacente $S_t\,.$
El sistema de ecuaciones anterior permite eliminar $dS_t$ lo cual resulta en
\begin{align} dC_1&=\frac{\partial_SC_1}{\partial_SC_2}\,dC_2-\frac{\partial_SC_1}{\partial_SC_2}\frac{C_2-\partial_SC_2}{B_t}\,dB_t+\frac{C_1-\partial_SC_1}{B_t}\,dB_t\,. \end{align} Esto muestra como $C_1$ puede ser replicada mediante operaciones en $C_2\,.$
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La EDP de Heston o cualquier otra EDP de volatilidad estocástica hace exactamente lo que estás buscando. El problema está en calcular los griegos. Si en cambio usas el modelo puro de volatilidad local, entonces en teoría, cubrir delta de una opción es suficiente, no necesitas otra opción.
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Carr y Wu (2014) tienen este resultado de cobertura donde puedes coberturar estáticamente una opción con vencimiento $T$ con un continuum de opciones a corto plazo (vencimiento $u\in(0,T)$). Se sigue de Breeden-Litzenberger. No sé si existe un resultado de cobertura (en su mayoría sin modelo) similar para el caso opuesto en el que estás interesado.
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Como mencionó @Kevin, existe el resultado de Carr-Wu, pero es solo para un modelo Markoviano de un solo factor, por ejemplo, un modelo de volatilidad local. Pero en mi opinión, uno podría simplemente hacer un delta hedge, que teóricamente es suficiente.
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@FridoRolloos ¿Por qué sería suficiente el delta hedging? ¿Debido a la diferencia en las fechas de vencimiento, no serían diferentes los gammas como función del tiempo? ¿O quieres decir que necesitaría reequilibrar constantemente mis gammas para que se compensen?
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Porque en un modelo de volatilidad local, el único factor de riesgo es el precio de la acción. El resultado de Carr y Wu superará si hay muchos saltos a pesar de eso. Sin embargo, se trata de cobertura de opciones a largo plazo con opciones a corto plazo, lo cual es lo opuesto a tu situación.