Distribución conjunta a partir de ecuaciones diferenciales

Question

Tengo el siguiente problema -

Z es una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor real en el rango [0,1]

a y b son variables independientes extraídas de una distribución uniforme en el intervalo [0,1].

Z es una función de a y b - Z(a, b)

Tengo una ecuación diferencial para $\frac{dZ(a, b)}{da}$ y $\frac{dZ(a, b)}{db}$ . He calculado Z(a, b) parciales (parciales porque sólo reflejan el cambio en Z con respecto a una variable). Denotémoslas por $Z_{a}(a, b) $ y $Z_{b}(a, b) $

Tengo que encontrar la Z(a, b) completa

Será

Z(a, b) = $Z_{a}(a, b) $ * $Z_{b}(a, b) $ ya que a y b son independientes

O

Z(a,b) = prob(a)* $Z_{a}(a, b) $ + prob(b)* $Z_{b}(a, b) $

Estoy confundido. Cualquier aclaración será útil. Gracias.

Answer 1

Desde el teorema fundamental del cálculo se deduce que la relación entre una función y su derivada parcial viene dada por: $$ Z(a,b)= \int_0^a \frac{\partial Z}{\partial a}(x,b) dx + Z(0,b), $$ y de forma similar para la derivada parcial de $Z$ wrt $b$ .