El reverso del Teorema de Debreu, no tiene idea de cómo empezar la pregunta.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para empezar:
Somos le dijo a que esta función de utilidad representa una relación de preferencia semanal.
Entonces ( transitividad )
Para $x_1, x_2, x_3 \in X$ supongamos que obtenemos $$u(x_1)\geq u(x_2)\geq u(x_3).$$ Estos son números reales, y la desigualdad débil de la cadena implica también $$u(x_1) \geq u(x_3)$$
Como se nos ha dicho que este $u$ representa una relación de preferencia, entonces debe ser el caso que $$x_1 \succsim x_2,\;\; x_2 \succsim x_3,\;\; x_1 \succsim x_3. $$ Esto demuestra que esta relación de preferencia representada por esta función de utilidad es transitiva.
Integridad Cuando se mira cualquier dos números reales, ¿hay algún caso en el que no se pueda decir si uno es mayor, menor o igual que el otro?
Continuidad Deberías seguir el consejo que se da en un comentario a tu post, que esencialmente te dice que pongas lado a lado las definiciones de continuidad de una función de valor real y la de preferencias.
