En el enfoque de Cox para árboles binomiales, el movimiento ascendente $u$ y el movimiento hacia abajo $d$ están dadas por: $u = e^{\sigma \sqrt{dt}}$ y $d = e^{-\sigma \sqrt{dt}}$ . En este enfoque la volatilidad $\sigma$ se supone constante. Estoy intentando construir un árbol con volatilidad dependiente del tiempo.
Que la volatilidad $\sigma(t)$ depender del tiempo. Para tener un árbol recombinado se requiere que la varianza $\sigma_i \sqrt{dt_i}$ es independiente de $i$ . Esto significa que hay 2 grados de libertad para elegir porque variando $dt_i$ o $\sigma_i$ dará como resultado un árbol no recombinante. No me queda claro cómo podemos elegir estos?
Según tengo entendido, $\sigma_i$ es la volatilidad "a plazo" en el intervalo de tiempo $[t_i, t_{i+1}]$ . Si considero que la volatilidad sonríe hoy y denota $\sigma(K,t)$ la volatilidad implícita de una opción con strike $K$ y caducidad $t$ Entonces tenemos la relación: $$\sigma_{i}^2dt_i = \sigma(K,t_{i+1})^2t_{i+1} - \sigma(K,t_{i})^2t_{i}$$
El cálculo de estas volatilidades a plazo es entonces sencillo dado que conozco $t_i$ ya que puedo calcular la volatilidad implícita $\sigma(K,t)$ para cualquier $t$ . Sin embargo, dado que $t_i$ son desconocidos no puedo determinar $\sigma(K,t_i)$ antes de saber primero $t_i$ ... Estoy tratando con una ecuación con demasiadas incógnitas.
