Consideremos el modelo de variedad de productos en expansión de Grossman y Helpman (1991), dado un precio de equilibrio para el sector intermedio igual a $w/\alpha$ ¿cómo obtienen los autores el siguiente resultado para los beneficios de explotación de la marca?
$\pi = \frac{1-\alpha}{n}$ , donde $n$ es el número de variedades
Ajustes del modelo:
El lado del consumo de la economía
$U_t = \left(\int_{t}^{\infty} e^{-\rho(\tau-t)} logD(\tau) \; d\tau\right) ~~~ [1]$
con $D(\tau)$ reflejando los gustos de los hogares por la diversidad en el consumo y estos gustos generarán demandas de productos diferenciados. Supongamos que en cada instante de tiempo el número de variedades disponibles en la economía está en el intervalo $[0, n(t)]$ con $n(t)$ siendo el número de variedades disponibles en $t$ .
Imponemos la siguiente especificación para D de manera que tengamos una elasticidad de sustitución constante entre cada par de bienes:
$D = \left[\int_{0}^{n} x(j)^{\alpha} dj\right]^{1/\alpha}~ [2]$ con $~0<\alpha<1$ y esto hace que los bienes sean sustitutos brutos ya que EoS>1
Entonces, un gasto doméstico $E$ maximiza la utilidad instantánea comprando $x(j)$ unidades de una variedad $j$ con (utilizando Dixit-Stiglitz lite, es decir, amante de la variedad):
$x(j) = \frac{Ep(j)^{-\epsilon}}{\left[\int_{0}^{n} p(j')^{1-\epsilon} dj'\right]} ~~~ [3]$
Ahora, interpreta $D$ como un único bien de consumo homogéneo consumido por el hogar, y $D$ se consume de forma competitiva según la tecnología dada por [2]
El precio de equilibrio $p_D$ es igual a:
$\lambda= p_D =\left[\int_{0}^{n} p(j)^{1-\epsilon} dj\right]^{\frac{1}{1-\epsilon}} ~~~ [4]$
La demanda de insumos $j$ por una empresa que fabrica $D$ unidades del bien final, utilizando el Lemma de Shephard, viene dado por:
$x(j) = D p(j)^{-\epsilon} \left[\int_{0}^{n} p(j')^{1-\epsilon} dj'\right]^{-\frac{1}{\alpha}} ~~~ [5]$
Condición de equilibrio en el mercado de la producción final: $D=E/p_D ~~~[5.1]$
Entonces, dado $[2]$ , $x(j)=x$ y por lo tanto $D= n^{\frac{1}{\alpha}}x$ y utilizar $X= nx$ para denotar la cantidad de recursos incorporados al bien final.
Así, la producción final por unidad de insumo final (PTF) viene dada por:
$D/X = n^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}~~~[6]$ y, por lo tanto, la productividad de un determinado stock de recursos aumenta con el número de variedades disponibles.
Entonces, insertando [5.1] en [1] y maximizando, obtenemos: $\dot{E}/E = r- \rho ~~~ [7]$
A continuación, normalice $E$ a 1, es decir $E=1~~~ [8]$
En equilibrio $r=\rho$
Variedad de producción
Supongamos que las variedades de producción se producen en competencia monopolística y que cada empresa suministra una única variedad $j$ y una unidad de variedad puede producirse con una sola unidad de trabajo.
Así, la función de beneficio de la variedad $j$ está dada por:
$\pi(j) = p(j)x(j) -wx(j)$
Precio de equilibrio: $p(j) = (1/\alpha)w ~~~[10]$
Y $\pi = \frac{1-\alpha}{n}$ con $E=1$ . Donde ¿de dónde viene este tipo?
