Problema
Quiero aplicar el criterio de Kelly a los rendimientos de los activos, para saber cuánto debo tener de cada uno, idealmente (y cuánto debo mantener como reserva de efectivo).
Por lo que entiendo el criterio de Kelly, se trata de maximizar los rendimientos logarítmicos esperados, que se calculan como $$\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n} log(\frac{wealth_t}{wealth_{t-1}})$$
Esto pondera correctamente las pérdidas, ya que sumar en el espacio logarítmico es equivalente a multiplicar en el espacio regular: incluso una sola pérdida completa hace quebrar mi cartera sin posibilidad de recuperación (tiene un logaritmo de $-\infty$ ). Gracias a Matthew Gunn por explicar.
Investigación
En muchos "trucos" que he encontrado en Internet, la gente ajusta las distribuciones a los rendimientos, o encuentra una fórmula ordenada.
Lo que no me gusta es que haya alguna suposición de normalidad, o que se apele a la ley de los grandes números, pero soy escéptico de que se cumplan. Por ejemplo, esta respuesta y esta página menciona la varianza - pero la varianza no puede capturar colas gordas .
Taleb muestra que a una distribución de cola gruesa le resulta mucho más difícil converger a una media por lo que los "grandes números" tienen que ser mucho mayores.
Otro problema es el escenario multivariante: las distribuciones n-dimensionales son un dolor de cabeza para conseguirlo. Muchos mencionan la covarianza, pero tengo la misma objeción que para la varianza: no se aplica a las distribuciones no normales.
Mi pregunta
Para ir al grano: ¿es una buena idea evitar el ajuste de cualquier distribución y optimizar directamente los datos?
Por ejemplo, digamos que comparo acciones y bonos. Las acciones tienen una alta rentabilidad, pero también un alto riesgo, mientras que los bonos tienen una baja rentabilidad y un bajo riesgo.
Obtendría las dos series, calcularía sus rendimientos logarítmicos y encontraría una combinación lineal con un rendimiento logarítmico medio máximo.
Los coeficientes de la combinación lineal serán la cantidad que invierto en cada uno.
Quizás divida el resultado por 2, para obtener la mitad de Kelly, porque el rendimiento pasado no es garantía de los resultados futuros.
Pero ¿es buena idea saltarse cualquier modelo de distribución ?
Me inclino a creer que sí, al menos en el caso de que los datos incluyan varios casos de choques. Pero tengo la corazonada de que se me escapa algo, quizá relacionado con la ergodicidad. ¿Puedes invalidar mi creencia?
Resultados
Por si alguien tiene curiosidad, lo he hecho y me parece muy extraño:
- cuando se utilizan los rendimientos mensuales, al algoritmo le gusta el apalancamiento loco, como 3x acciones y 6,67x bonos.
- si se utilizan los rendimientos móviles anuales, sólo se multiplican por 1,7 las acciones y por 2,34 los bonos.
- La rentabilidad a 5 años hace que sea 2 veces las acciones y 0,16 veces los bonos.
- La rentabilidad a 10 años, ambos suben de nuevo a 2,45x y los bonos bajan a 0,263x.
Creo que no sé ni qué preguntar. ¿Qué es esto? ¿Correlación serial?
En cualquier caso, sospecho que el riesgo de cola no se capta correctamente, por lo que no puedo recomendar mi método tal cual. Parece que ni siquiera converge.
