Los enfoques de Hick y Slutsky conducen a diferentes efectos sobre los ingresos. ¿Por qué?

Question

Supongamos que una taza de café y un plato de judías se venden a 1 y 3 euros respectivamente durante el invierno. En verano, el Gobierno decide eliminar la subvención al café y su nuevo precio por taza sube a 2 euros. Si un cliente tiene una renta de 10 euros y la función de utilidad $u(c,b) = cb$ ¿Cuál es el efecto de los ingresos?

Parece que la manera de Hicks y la de Slutsky conducen a dos efectos de ingresos diferentes.

Las exigencias iniciales son $(c_0, b_0) = (\frac{0.5 \times 10}{1}, \frac{0.5 \times 10}{3}) = (5, 5/3)$ .

A la manera de Hick: Las nuevas exigencias en verano son $(c_1, b_1) = (\frac{0.5 \times 10}{2}, \frac{0.5 \times 10}{3}) = (5/2, 5/3)$ . La demanda hicksiana con utilidad $u(c_0, b_0)$ est $(c_2, b_2) = \left(\frac{5 \sqrt 2}{2}, \frac{5 \sqrt 2}{3}\right)$ . El efecto de los ingresos que obtenemos de esto es $c_1 - c_2 \approx 1.036$ .

A la manera de Slutsky: Las nuevas exigencias en verano serán $(c_1, b_1)$ como hemos calculado anteriormente. Entonces la demanda marshalliana en la línea presupuestaria $2x + 3y = 2c_0 + 3b_0 = 15$ será $(c_2, b_2)=\left(\frac{15}{4}, \frac{15}{6}\right)$ . El efecto de los ingresos que obtenemos de esto es $c_1 - c_2 = 2.5-3.75 \approx 2.083$ .

Si el El EMP es un doble de la UMP ¿Cómo es que los dos métodos conducen a efectos de ingresos diferentes?

Answer 1

El hecho de que la AEM sea un doble de la UMP no está relacionado con los efectos de los ingresos.

Si $(c_0, b_0)$ denota la demanda inicial, y $(c_1, b_1)$ denota la demanda después de que el precio del café haya cambiado, entonces

• Para encontrar la sustitución hicksiana y el efecto de la renta, resolvemos el siguiente problema: \begin{eqnarray*} \min_{(c, b)\in\mathbb{R^2_+}} & \ 2c + 3b \\ \text{s.t. } & cb \geq c_0b_0\end{eqnarray*}

Dejemos que $(c_2^h, b_2^h)$ denota la solución del problema anterior. Esto implica que $2c_2^h + 3b_2^h < 2c_0 + 3b_0$ . La desigualdad será estricta porque $(c_0, b_0)$ es el paquete de equilibrio cuando la relación de precios es $\frac{1}{3}$ y como $u$ es creciente, diferenciable y estrictamente cuasicóncava en $\mathbb{R}^2_{++}$ el coste se minimizará en un paquete diferente. [Nótese que la dualidad dice que si se minimiza $c + 3b$ con sujeción a $cb \geq c_0b_0$ , obtendrá $(c_0, b_0)$ como la solución]

• Para encontrar la sustitución de Slutsky y el efecto de la renta, resolvemos el siguiente problema: \begin{eqnarray*} \max_{(c, b)\in\mathbb{R^2_+}} & \ cb \\ \text{s.t. } & 2c+3b \leq 2c_0+3b_0\end{eqnarray*}

Dejemos que $(c_2^s, b_2^s)$ denota la solución de este problema. Dado que $u$ es una función creciente, la solución satisfará $2c_2^s+3b_2^s = 2c_0+3b_0 > 2c_2^h + 3b_2^h$ . Por lo tanto, los dos paquetes $(c_2^s, b_2^s)$ y $(c_2^h, b_2^h)$ serán diferentes y, en consecuencia, el efecto de sustitución y el efecto de renta serán diferentes para los dos métodos.