¿Cuándo tiene sentido utilizar métodos variacionales, frente a la programación dinámica, frente a los métodos de control no lineal para resolver los modelos DSGE?

Question

Vengo de una formación en estadística y matemáticas aplicadas, pero últimamente he estado estudiando algunos problemas relacionados con los modelos macroeconómicos DSGE. Así que todavía estoy tratando de entender las ideas y los conceptos económicos, pero tengo un buen conocimiento de los métodos de control óptimo lineal y no lineal.

Mi pregunta fundamental es ¿cuándo utilizan los economistas los métodos variacionales para resolver los modelos DSGE, frente al uso de la programación dinámica o los métodos de control óptimo lineal, frente al uso de los métodos de control óptimo no lineal? Parece que los economistas utilizan todos los métodos anteriores, pero no estaba seguro de cuándo y por qué eligen un método en lugar de otro.

Estaba mirando algunas videos que presentan un bonito y sencillo modelo DSGE RBC, y lo resuelven utilizando métodos variacionales, es decir, el método del multiplicador de Lagrange. La solución es analítica y se derivan condiciones de primer orden para el sistema como las que aprendí cuando era estudiante. El problema básico en el que trabajan es el problema de optimización de horizonte temporal infinito y finito:

$$ max_{c, h} \quad \mathbb{E}(\sum^{\infty}_{t=0} \beta^tu(c_t, h_t)) $$

En este caso, $c_t$ es el consumo en el momento $t$ y $h_t$ es la mano de obra proporcionada en el momento $t$ . Por supuesto, podemos añadir a este problema limitaciones presupuestarias y demás, como hizo el autor en los vídeos.

Sin embargo, al mirar el libro de McCandless "ABCs of RBCs", el autor en el capítulo 4 utiliza métodos de programación dinámica. Ahora bien, los métodos de programación dinámica, como la iteración de valores, no funcionan para problemas de alta dimensión, es decir, son demasiado costosos desde el punto de vista computacional.

No pude saber si McCandless entra en los métodos de control cuadrático lineal y los filtros de Kalman para resolver el problema de optimización anterior; no encontré referencias a "Kalman" en el índice. Sin embargo, los métodos de filtro de Kalman y los métodos de control no lineal se pueden utilizar para resolver la función objetivo--especialmente porque esa función $u(\cdot)$ suele ser no lineal.

Por eso esperaba que alguien pudiera explicar cómo eligen los economistas el método para resolver el problema de optimización anterior.

Answer 1

Las dos herramientas principales para los economistas que resuelven problemas de optimización con restricciones de horizonte infinito en tiempo discreto, como en su problema de ejemplo, son:

1. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) - que es un método variacional, como has notado, y funciona para problemas lineales y no lineales.
2. Programación dinámica, que también puede utilizarse para resolver problemas lineales y no lineales.

El Principio de Optimalidad de Bellman da condiciones para que el primer enfoque (problema de secuencia - SP) dé la misma solución que el segundo (problema de ecuaciones funcionales - FP), es decir, SP=FE.

Cuando se busca una solución analítica, el primer enfoque suele ser más conveniente. A menudo es natural escribir un problema como un problema de secuencia y el enfoque de la primera derivada no requiere conocimientos sobre la forma funcional de la solución ni una iteración potencialmente tediosa.

Sin embargo, el segundo enfoque tiene ventajas cuando se quiere aprovechar un ordenador para resolver un problema potencialmente más complicado con el uso de un ordenador. Aunque las múltiples variables de estado hacen que la resolución de los problemas de programación dinámica sea más intensiva desde el punto de vista computacional, esto no ha disuadido a muchos economistas y muchos modelos económicos notables son altamente dimensionales (véase Krusell y Smith (1998) para un primer ejemplo). También se están utilizando métodos de aprendizaje profundo para acelerar la resolución de estos problemas a gran escala.

Otra ventaja del enfoque de programación dinámica es que es más fácil de adaptar a la incertidumbre. Un ejemplo aquí .

Por último, es posible ampliar el problema de optimización con restricciones a un grado de complejidad mayor, de manera que se quiera utilizar una técnica más avanzada, como el filtro de Kalman. Un ejemplo de esto puede ser un problema en el que el la variable de estado es inobservable para el agente .

Nota: existen sustitutos en tiempo continuo de estos métodos (el Principio de Máxima de Pontryagin y las ecuaciones Hamiltonianas-Jacobi-Bellman).