¿Cómo podemos demostrar que un equilibrio en estrategias dominantes es un equilibrio de Nash?

Question

Hasta ahora he dicho que un equilibrio en estrategias dominantes es aquel en el que se encuentran dos perfiles de estrategia estrictamente dominantes (por ejemplo, denunciar al otro prisionero en el Dilema del Prisionero). Siguiendo la definición de estrategia dominante, es aquella en la que el perfil de estrategia es el mejor no importa lo que el oponente elija y, por lo tanto, también se ajustaría a la definición de equilibrio de Nash, donde ninguno de los jugadores tiene incentivos para cambiar su estrategia, ya que, por definición, la estrategia dominante ya es la mejor.

Sin embargo, esto parece demasiado simple, ¿me estoy perdiendo algo?

Gracias.

Answer 1

Su intuición sobre la prueba es correcta. Una prueba más formal implicaría examinar las definiciones de estrategia dominante y equilibrio de Nash:

Una estrategia $s_i^d$ es un estrategia dominante para el jugador $i$ si \begin{equation} u_i(s_i^d,s_{-i})> u_i(s_i,s_{-i}),\quad \forall s_i\in S_i\setminus\{s_i^d\},\;\forall s_{-i}\in S_{-i} \tag{1} \end{equation}

Un perfil estratégico $(s_1^*,\dots,s_n^*)$ constituye una Equilibrio de Nash si para cada jugador $i=1,\dots,n$ , \begin{equation} u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\ge u_i(s_i,s_{-i}^*), \quad\forall s_i\in S_i \tag{2} \end{equation}

En un juego donde cada jugador tiene una estrategia dominante $s_i^d$ es decir, una estrategia que satisface la condición $(1)$ anterior, entonces la condición $(2)$ también debe ser satisfecha por el perfil de la estrategia $(s_1^d,\dots,s_n^d)$ Por lo tanto, un equilibrio de Nash.