Todo el apartado 8.3 se refiere al valor de la Put Americana Perpetua. Aunque hay pocos o ningún PAP que se negocie en el mundo real, es un tema interesante porque es un ejemplo de valor de ejercicio americano que se entiende bien matemáticamente. Así que en el libro sirve como ejemplo de valoración de este tipo de valores, que son bastante más complicados que los de ejercicio europeo.
En la sección 8.3.3 estudiamos las derivadas parciales de la función de valor V, lo que nos lleva a un "sistema de desigualdades diferenciales parciales" 8.3.18 8.3.19 8.3.20 llamado Condiciones Lineales Complementarias. En principio, todas las herramientas (incluidas las numéricas) para abordar las desigualdades diferenciales parciales y los problemas de complementariedad lineal pueden utilizarse para encontrar la solución V ( ejemplo ). En el caso del ejercicio europeo encontramos la EDP de Black Scholes Merton, aquí descubrimos una generalización de la EDP-BSM para el ejercicio americano.
En la sección 8.3.4 se examina el problema como un problema de parada óptima en el contexto de los procesos estocásticos. V es la solución de un problema de este tipo, por lo que de nuevo se pueden aplicar las herramientas del oficio para este tipo de problemas ( ejemplos ). Las ideas clave de esta sección son: "Los precios de las opciones europeas descontadas son martingalas bajo la medida de probabilidad neutra del riesgo. Los precios descontados de las opciones americanas son martingalas hasta el momento en que deberían ejercerse. Si no se ejercen cuando deben hacerlo, tienden a la baja". Así que el precio descontado es una supermartingala. En conclusión, el proceso estocástico para V satisface 3 condiciones, enumeradas al final de esta sección: V es mayor o igual que el valor de ejercicio inmediato, $e^{-r T}V(t)$ es un supermartingale, y existe un tiempo de parada óptimo $\tau_*$ . Al igual que en la sección anterior, se han encontrado 3 condiciones, pero están expresadas en un lenguaje muy diferente.
HTH
