Varianza esperada con volatilidad estocástica

Question

Estoy un poco desconcertado con este problema. No estoy seguro de cómo escribir rigurosamente el resultado. Agradezco su ayuda.

si $e_t\sim \mathcal{N}(0,\,\sigma_{e,t}^{2})$ y

$\sigma_{e,t}^{2}= \sigma_{e,t-1}^{2}+u_t$ donde $u_t\sim \mathcal{N}(0,\,\sigma_{u}^{2})$

cuál es la varianza esperada de $e_{t+2}$ en el momento t, $ V_t(e_{t+2})=E_t (e_{t+2}^2)$ ?

Desde $E_t (\sigma_{e,t+2}^2)=\sigma^2_{e,t}$ ¿es entonces $ V_t(e_{t+2})=\sigma^2_{e,t}$ ?

Answer 1

Hola: Hay que tomar la varianza de la $u_t$ ya que la relación es recursiva y el $\sigma^2_{e,t}$ no se observan.

Usted quiere $var(e_{t+2})$ .

Así, utilizando un argumento recursivo, tenemos

(1) $\sigma^2_{e,t+2} = \sigma^2_{e,t-1} + u_{t} + u_{t+1} + u_{t+2}$ .

Pero, $e_{t+2} \sim N(0,\sigma^2_{e,t+2})$ .

Por lo tanto, utilizando (1) , tenemos que escribir $\sigma^2_{e,t+2}$ como una suma finita porque no tenemos $\sigma^2_{e,t-1}$ porque no se observa. Así que, partiendo de $t=1$ (esto supone que $u_1$ es el primer término de error ), tenemos

$\sigma^2_{e,t+2} = \sum_{i=1}^{t+2} u_{i}$

Entonces, utilizando la independencia del $u_{i}$ , $var\left(\sum_{i=1}^{t+2} u_{i}\right) = (t+2) \times \sigma^2_{u}$ .

EDIT: NOTA QUE ESTABA LEYENDO ESTO DE NUEVO Y UNA PREGUNTA OBVIA QUE ALGUIEN PUEDE HACER ES: "Bueno, $\sigma^2_{u}$ tampoco se observa, así que ¿cuál es la diferencia entre que no se observe y $\sigma^2_{e,t}$ no se observa". Mi respuesta no sería mucha salvo por el hecho de que $\sigma^2_{e,t}$ tiene un subíndice de tiempo por lo que es más difícil de estimar porque cambia de un periodo a otro. $\sigma^2_{u}$ es una constante a lo largo de los periodos de tiempo, por lo que es más fácil de estimar.

Answer 2

Mi propia respuesta utiliza la ley de la expectativa iterada. Creo que podría funcionar.

$ V_t(e_{t+2})=E_t (e_{t+2}^2)=E_t (E_{t+2} [e_{t+2}^2])=E_t (\sigma_{e,t+2}^2)=E_t (\sigma_{e,t}^2+u_{t+2}+u_{t+1})=\sigma_{e,t}^2$

Answer 3

Hola Burgerino: Creo que tu respuesta puede considerarse correcta. Al mismo tiempo, creo que no está tan claro lo que realmente se quiere. Aún así, si realmente quieres la expectativa de $e^2_{(t+2)}$ a la vez $t$ entonces lo que has hecho está bien. Pero mi problema con su enfoque es que usted termina con $\sigma^2_{(e,t)}$ que no es algo que pueda estimarse a partir de los datos ( a esto me refiero cuando afirmo que no es observable. A veces en la bibliografía se utiliza el término variable latente ), por lo que no es tan útil.

No estoy seguro de cuál es el contexto de esta pregunta ( está el profesor discutiendo modelos de volatilidad estocástica o modelos ARCH ) pero mi entendimiento ( que no suena correcto ) me llevó a ver $\sigma^2_{(e,t)}$ como variable aleatoria. A continuación, calculé la varianza de esta variable aleatoria en el tiempo $t+2$ . Mi expresión para la varianza de $\sigma^2_{(e,t+2)}$ es correcto pero esto no era lo que buscabas. Le pido disculpas por ello.

Tienes razón en que una forma de ver lo que estoy haciendo es que estoy calculando la varianza de una varianza. Pero yo no me preocuparía por el hecho de que $\sigma^2_{(e,t+2)}$ es una varianza. Creo que es más fácil ver $\sigma^2_{(e,t)}$ como una variable aleatoria que adopta distintos valores a lo largo del tiempo. Así, estoy calculando la varianza de una VR que resulta representar la varianza de otra VR, a saber, $e_t$ . Obsérvese que, si se considera la ecuación para $\sigma^2_{(e,t)}$ ( abajo ), un punto de vista posiblemente más conveniente es verlo como un VR que sigue un paseo aleatorio.

(1) $\sigma^2_{(e,t)} = \sigma^2_{(e,t-1)} + u_t$

Como he dicho antes, estoy de acuerdo en que $E_t(e^2_{(t+2)}) = \sigma^2_{(e,t)}$ . Creo que lo mejor es que sigas con tu planteamiento y luego veas lo que dice la persona que te hizo este encargo ( parece un encargo de una clase, ¿correcto? ). Tal vez lo que tienes es correcto y el problema de que no es observable no importa ? Así que, espero que esto haya ayudado a explicar lo que estaba haciendo y estoy de acuerdo con tu enfoque de la propiedad de la torre ( condicionando dos veces ) que utilizas para obtener la respuesta. Sólo que no veo cómo se utiliza la respuesta ya que $\sigma^2_{(e,t)}$ no puede estimarse en la práctica, al menos por lo que yo sé.

Si sabe algo más sobre esta pregunta, hágamelo saber, porque me gustaría saber qué quiere decir con ella. Mi dirección de correo electrónico es firstnamelastname2@gmail.com. Gracias.