Si los ingresos aumentan en $\$ d $, will it mean the utility at the optimal point increases by $ \¿lambda d$?

Question

He leído que si los ingresos aumentan en $\\\$ d$ entonces la utilidad en el punto óptimo aumentará en $\lambda d$ . ¿Cómo puedo entenderlo, tanto matemática como intuitivamente?

Podemos escribirlo como $\lambda = \frac{\Delta U}{\Delta I}$ donde $U$ es la función de utilidad y $I$ ¿son los ingresos? Se supone que las preferencias se comportan bien y $p_xx + p_yy = I$ (respectivamente $I' = I+d$ ) es la restricción presupuestaria.

Answer 1

Si los ingresos aumentan en $d, ¿significará que la utilidad en el punto óptimo aumenta en λd?

Sí, lo hará. Por un problema:

$$\max U(x,y) \text{ s.t. } p_xx+ p_yy=I$$

podemos establecer un Lagrangiano dado por:

$$\mathcal{L} = U(x,y) - \lambda( p_xx+ p_yy - I)$$

Resolviendo la lagrangiana anterior obtendremos unas demandas óptimas $x^*(I)$ y $y^*(I)$ . Esto nos dará una función de valor:

$$U^*(x^*(I),y^*(I))=U^*(I)$$

Suponiendo que la función de valor es diferenciable la diferencial de la función de valor viene dada por:

$$dU^*(I) = dU^*(x^*,y^*)= U_x'(x^*,y^*)dx^* +U_y'(x^*,y^*)dy^* \tag{*} $$

No dada la restricción presupuestaria que generalmente se puede escribir como $g(x,y)=I$ donde $g(x,y)=p_xx+ p_yy$ , los FOC del lagrangiano vendrán dados por:

$$U_x'(x^*,y^*)dx^* = \lambda g_x'(x^*,y^*)dx^* \text{ and } U_y'(x^*,y^*)dy^* = \lambda g_y'(x^*,y^*)dy^*$$

Por lo tanto, * puede escribirse como

$$dU^*(I) =\lambda g_x'(x^*,y^*)dx^* +\lambda g_y'(x^*,y^*)dy^* = \lambda \left( g_x'(x^*,y^*)dx^* + g_y'(x^*,y^*)dy^*\right) \tag{**}$$

Ahora si tomamos el diferencial de la restricción presupuestaria obtenemos:

$$dg(x^*,y^*)= g_x'(x^*,y^*)dx^* + g_y'(x^*,y^*)dy^*= dI$$

Sustituye esto por ** y obtendrás:

$$dU^*(I) = \lambda dI \text{ or } \frac{dU^*(I)}{dI} = \lambda $$

La última expresión establece que el cambio en la función de valor $U^*$ será igual a la variación de los ingresos por lambda. También podríamos reescribir la última expresión como $U^*(I+dI)\approx \lambda dI$$ .

¿Cómo puedo hacerme una idea, tanto matemática como intuitivamente?

La derivación matemática se ha proporcionado anteriormente. Intuitivamente $\lambda$ es el efecto marginal de las restricciones sobre el valor óptimo alcanzable de la utilidad.