¿Una derivada con respecto a la distancia euclidiana?

Question

Tengo una función de utilidad $u(x,z)$ de $\mathbb{R}_+$ a $\mathbb{R_+}$ , donde $x,z \in \mathbb{R}_+$ .

Me gustaría convertir la siguiente afirmación en matemáticas: "la función de utilidad $u$ aumenta a medida que la distancia euclidiana entre $x$ et $z$ está aumentando".

¿Puedo escribir $\frac{ d u(g) }{d g}>0$ , donde $g=d(x,z)\in \mathbb{R_+} $ es la distancia euclidiana entre $x$ et $z$ ?

Answer 1

Como ha señalado Herr K., si escribe $\frac{du(g)}{dg}$ entonces $u$ tiene que ser $\mathbb{R}^+$ et $x,z$ tienen que ser números reales.

Es mejor que preguntes:

Cuando $u : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ aumenta junto con $d(x,z) := |x-z|$ ¿podemos decir que $\frac{du(g)}{dg} > 0$ ?

Sí, si $u(x)$ es diferenciable en todos los puntos de su dominio.

Desde $\text{range}(\{d(x,z) : x,z \in \mathbb{R}^+\}) = \mathbb{R}^+$ , $\frac{du(g)}{dg}$ equivale a escribir $u'(x)$ donde $x \in \mathbb{R}^+$ . Para que puedas definir de esta manera, $u$ tiene que ser diferenciable en todo su dominio, lo que puede no ser siempre el caso.

Una mejor manera de verificar si $u$ aumenta con $d$ sería comprobar si $u$ es una función (estrictamente) creciente que no requiere diferenciabilidad.