Demostración de la eficiencia de Pareto con MRS

Question

Dadas tres personas con la misma función de utilidad:

$$ u_A(x_1,x_2)=u_B(x_1,x_2)=u_C(x_1,x_2)=\sqrt{x_1x_2} $$

Demuestre que la siguiente asignación es eficiente de Pareto:

$$ x_A=(2,2),\: x_B=(3,3),\: x_C=(1,1) $$

Leí la respuesta de mi profesor a esta pregunta que decía: La asignación es Pareto eficiente ya que se puede demostrar que las tasas marginales de sustitución son iguales.

Sólo he visto que es una condición necesaria de la eficiencia de Pareto, no que sea suficiente. ¿Es así? Si no es así, ¿cómo puedo demostrar que la asignación es eficiente de Pareto?

Answer 1

Una forma de comprobar que esta asignación es eficiente en términos de Pareto es utilizar el primer teorema del bienestar. Consideremos la economía de intercambio con funciones de utilidad \begin{eqnarray*} u_i(x_i, y_i) = \sqrt{x_iy_i}\end{eqnarray*} para $i\in\{A,B,C\}$ .

Supongamos que la dotación $\omega$ viene dada por \begin{eqnarray*} \omega_A = (\omega_A^X, \omega_A^Y) = (2,2) \\ \omega_B = (\omega_B^X, \omega_B^Y) = (3,3) \\ \omega_C = (\omega_C^X, \omega_C^Y) = (1,1)\end{eqnarray*} Compruebe que la dotación $\omega$ es la asignación de equilibrio competitivo de la economía anterior $\left((u_i, \omega_i)_{i\in\{A,B,C\}}\right)$ apoyado por los precios $(p^X, p^Y) = (1,1)$ y, por lo tanto, es eficiente de Pareto.

Otra forma de comprobar la eficiencia de Pareto de la asignación anterior es mostrar que esta asignación también maximiza la suma de las utilidades de los tres individuos sujetos a la restricción de viabilidad.