Pagos medios descontados en tiempo continuo

Question

Leyendo algunos artículos de teoría que modelan un problema de tiempo continuo, me he dado cuenta de que la forma en que representan la expresión del pago medio descontado es de esta forma, donde $r> 0 $ es el tipo de descuento, $$r\int_0^\infty e^{-rs}u\left(x_s\right)ds$$ ¿Puede alguien explicarme dónde está el $r$ de esta expresión? Entiendo el uso de $e^{-rs}$ ya que es el factor de descuento, pero no se entiende por qué también se multiplica por $r$

Por ejemplo, véase este documento https://elischolar.library.yale.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=3011&context=cowles-discussion-paper-series#page=12 . En la página 10 (PDF página 12).

Answer 1

El $r$ o más bien $\frac{1}{1/r}$ es la parte "media" de la remuneración media descontada. Como usted señala, $\mathrm e^{-rs}$ es el factor de descuento. Obsérvese que \begin{equation} \int_0^\infty \mathrm e^{rs}\,\mathrm ds = \frac1r. \end{equation} Si el pago es $p$ en cada instante de tiempo, el pago descontado (sin promediar) es $p/r$ . Pero si queremos conseguir $p$ como el media de pago descontado, ponderaríamos el factor de descuento por $\frac{1}{1/r}$ para que \begin{equation} \int_0^\infty \frac{\mathrm e^{rs}}{1/r}p\,\mathrm ds = r\int_0^\infty \mathrm e^{rs}p\,\mathrm ds = p. \end{equation}

En el documento al que te has referido, el promedio de pago descontado en la página 10 proviene de: \begin{equation} \int_t^\infty (1)\frac{\mathrm e^{-rs}}{1/r}\,\mathrm ds - \int_0^t \frac{\mathrm e^{-rs}}{1/r} c_i(u_{i,s})\,\mathrm ds \end{equation} donde el factor de descuento está ponderado por $\frac{1}{1/r}$ .