En cuanto a su primera pregunta, creo que nada se lo impide, e incluso existe algo parecido. Sin entrar en todos los tecnicismos (tampoco soy un experto en eso), la forma opuesta de hacer la integración estocástica, en lugar de utilizar la Ito-integral, se conoce como la Integral de Stratonovich .
Al igual que tu planteamiento de utilizar las sumas de Riemann correctas, la integral de Stratonovich no es aplicable en finanzas, ya que necesita información futura. Una de las razones para elegir la integral de Ito como es, proviene del hecho de que la integral puede ser calculada con toda la información sobre el proceso que se conoce hasta un cierto punto en el tiempo. Dado el mismo conjunto de información, la integral de Ito no puede calcularse y su planteamiento tampoco, ya que necesita al menos un valor del proceso en el tiempo futuro.
En cuanto a tu segunda pregunta, se debe a la condición de no arbitraje. Te daré la derivación completa en una notación ligeramente diferente, que será un poco más fácil de seguir, creo.
Considere la cartera $P$ con la opción de estilo europeo $C(t, S(t))$ y $\Delta$ acciones con comilla $S(t)$ , $$ P(t, S(t)) = C(t, S(t)) - \Delta S(t) $$ Siguiendo el enfoque de Black-Scholes, suponga un tipo de interés constante $r$ y que el activo de riesgo $S(t)$ seguir un movimiento browniano geométrico con deriva $r$ y la volatilidad constante $\sigma$ , $$ dS(t) = r S(t) dt + \sigma S(t) dW(t), $$ donde $W(t)$ es un movimiento browniano bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ . Escriba $C\equiv C(t, S(t))$ , $P \equiv P(t, S(t))$ y $S \equiv S(t)$ . El cambio de esta cartera, en un intervalo de tiempo infenitesimal $t + dt$ será, $$ dP = dC - \Delta dS $$ A partir del lema de Ito, se sabe que, \begin{align} dC = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \frac{\partial C}{\partial S} dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} (dS)^2 \end{align} La sustitución de este resultado, en la ecuación de la evolución de la cartera da como resultado $$ dP = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \left(\frac{\partial C}{\partial S} - \Delta \right) dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} (dS)^2 $$ Aquí viene la argumentación con respecto al riesgo de la cartera (parte de tu primera pregunta). Tenga en cuenta que $(dS)^2 = \sigma^2 S^2 dt$ (Dejo la derivación a tu criterio). Por lo tanto, el único factor de riesgo, resultante del movimiento browniano, proviene del término $S(t)$ . Por lo tanto, el ajuste, $$ \Delta = \frac{\partial C}{\partial S}, $$ es decir, vender $\frac{\partial C}{\partial S}$ acciones, eliminará el riesgo debido al movimiento browniano dentro de la cartera. Este fenómeno se denomina cobertura delta. El cambio de la cartera viene dado, por tanto, por $$ dP = \left(\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} S(t)^2 \sigma^2 \right) dt $$ Aquí viene la parte relativa a su segunda pregunta. Supongamos que el crecimiento de la cartera supera el crecimiento del activo sin riesgo, es decir $dP > r P dt$ . En el momento $t$ vendemos el libre de riesgo y compramos la cartera. Obsérvese que tenemos una estrategia de inversión que no necesita ningún capital inicial. Como el crecimiento de la cartera supera el crecimiento del libre de riesgo, vendemos la cartera en el momento $t + dt$ y volver a comprar el activo sin riesgo. Además, nos quedamos con los beneficios de la estrategia. En consecuencia, hemos creado un arbitraje y, por lo tanto $dP > r P dt$ no puede ser cierto. Un argumento similar es válido para $dP < r P dt$ Lo dejo en sus manos. En consecuencia, debemos tener esa $$ dP = r P dt $$ Combinando ambos resultados se obtiene, $$ \left(\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} S^2 \sigma^2 \right) dt = r P dt = r (C - \Delta S) dt $$ Dividiendo por $dt$ y utilizando la expresión conocida para $\Delta$ se obtiene la expresión de Black-Scholes; $$ \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} S^2 \sigma^2 + rS\frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0 $$
Espero que le resulte útil.
