¿Puede alguien ayudarme si estoy pensando correctamente? Si $R(t,i)$ es el rendimiento logarítmico i de $i = 1\ldots,M$ del día $t$ para $t = 1\ldots,T$ .
¿Puedo suponer que la volatilidad diaria realizada (denominada $RV(t)$ ) es un estimador consistente de la verdadera volatilidad diaria denominado $QV(t)$ ] en el sentido de que $RV(t)\rightarrow QV(t)$ cuando $T\rightarrow\infty$ ?
Para ser breve: el estimador de la varianza realizada, $RV_t$ es sólo un estimador consistente de la Variación Cuadrática (QV) en ausencia de ruido de microestructura.
Tras el documento de Barndorff-Nielsen, O. E., & Shephard, N. (2002) muestran cómo el estimador de la varianza realizada, $$ RV_t = \sum_{i=1}^n r_{i,t}^2, $$ es un estimador consistente de QV en ausencia de ruido de microestructura cuando el número de observaciones intradía llega a infinito:
$$ RV_t = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n r_{i,t}^2 \overset{\mathbb{P}}{\longrightarrow} QV_t. $$
En su configuración, modelan el proceso de precios logarítmicos siguiendo una difusión en la forma:
$$ dp_t = (\mu + \beta \sigma^2_t) \: dt + \sigma_t dW_t, $$
donde $\mu$ es la deriva y $\beta$ es la prima de riesgo. Siguiendo la configuración de difusión del proceso de precios logarítmicos, la variación cuadrática $QV_t$ de los log-returnos puede describirse como:
$$ QV_t = \int_{t-1}^t \sigma^2_s \: ds, $$ que equivale a la volatilidad/varianza integrada $IV_t = \int_{t-1}^t \sigma^2_s \: ds$ ( sólo bajo un proceso de difusión, véase el documento ).
$RV_t$ también es un estimador insesgado cuando $\mu = \beta = 0$ .
En la práctica, el efecto de $\mu$ y $\beta$ sobre la volatilidad/varianza realizada, es extremadamente pequeño y suele ser seguro ignorarlo en muchos casos ( Véase la sección 5 del documento anterior ).
En el marco de la difusión, cuando $\mu = \beta = 0$ y asumiendo la ausencia de ruido, $RV_t$ es un estimador consistente de la varianza/volatilidad integrada $IV_t$ : $$ \lim_{n \rightarrow \infty}RV_t \overset{\mathbb{P}}{\longrightarrow} QV_t = \int_{t-1}^t \sigma^2_s \: ds. $$
Se puede evitar la microestructura mediante un muestreo disperso de las observaciones intradía.
Como última nota Zhang, L., Mykland, P. A., & Aït-Sahalia, Y. (2005) muestran que cuando hay ruido de microestructura, el sesgo de la $RV_t$ crece con $n$ y por lo tanto explota cuando $n \rightarrow \infty$ . Así, la volatilidad realizada no estima la verdadera volatilidad/varianza integrada, sino una contraparte contaminada por el ruido.
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