¿Puede alguien proporcionar un ejemplo detallado para demostrar la siguiente afirmación? "Cuando el horizonte de inversión es igual a la duración de Macaulay del bono, el riesgo de reinversión del cupón compensa el riesgo de precio".
Fuente: Comprender el riesgo y la rentabilidad de la renta fija, Programa CFA 2022
¿Puede alguien proporcionar un ejemplo detallado para demostrar la siguiente afirmación? "Cuando el horizonte de inversión es igual a la duración de Macaulay del bono, el riesgo de reinversión del cupón compensa el riesgo de precio".
El valor futuro en el momento del horizonte de inversión $t$ de un conjunto de $n$ flujos de caja es $$ FV(t;y) = \sum_{i=1}^n CF_i \cdot D(t,t_i) = \sum_{i=1}^n CF_i \cdot \exp\left(-y\cdot (t_i-t)\right), $$ donde $D(t,t_i)$ sea el factor de descuento entre el tiempo $t$ y el tiempo $t_i$ y $y$ es el tipo de interés o el rendimiento constante y continuamente compensado.
¿Para qué valor de $t$ ¿es el valor futuro inmune a un pequeño cambio en el rendimiento? \begin{align} \frac{\partial FV(t;y)}{\partial y} &= -\sum_{i=1}^n CF_i \cdot (t_i-t) \exp\left(-y\cdot (t_i-t)\right), \end{align} igualando a cero y resolviendo para $t$ nos da \begin{align} t^* = \frac{\sum_{i=1}^n t_i \cdot CF_i \cdot \exp(-y\cdot t_i)}{\sum_{i=1}^n CF_i \cdot \exp(-y\cdot t_i)}, \end{align} que es idéntico al Duración de Macaulay .
En relación con el horizonte $t$ , los flujos de caja antes de tiempo $t$ se componen hacia adelante (aumentando su valor), y los flujos de caja después del tiempo $t$ se descuentan de nuevo (disminuyendo su valor). Un pequeño aumento positivo del rendimiento $y$ hará que los flujos de caja futuros sean menos valiosos (riesgo de precio) en el momento $t$ cuando los flujos de caja recibidos en el pasado sean más valiosos (riesgo de inversión). Si el horizonte es $t^*$ que es igual a la duración de Macaulay, estos dos efectos se anulan.
Considere un bono con cupón de pago anual a 3 años con un nocional $N=100$ , rendimiento $y=19.5\%$ , cupón $c=21.5\%$ , $t_i=i$ donde $i=1,2,3$ . Los flujos de caja son $CF_i=N\cdot c=21.5$ para $i<3$ y $CF_3=Nc+N = 121.5$ .
Realizando el ejercicio anterior verás que la duración de Macaulay es $t^*=2.5$ .
El cambio en el valor futuro a un pequeño cambio $\epsilon$ en el rendimiento viene dado por $\Delta FV(t;y) = FV(t;y+\epsilon) - FV(t;y)$ . Con, por ejemplo $\epsilon=1\%$ se encontrará con que el cambio de valor se minimiza cuando $t=t^*$ .
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