Residuo de Solow con minimización de costes, cálculo (Roeger, 1995)

Question

Estoy tratando de entender bien los pasos que hay que seguir para resolver el dual de un problema de maximización, es decir, la minimización de costes. En algún momento (los dos últimos pasos), el autor termina con la siguiente función de crecimiento del coste marginal: $$\Delta mc=\left [\frac{WN}{C(\cdot )} \right ]\Delta w+\left [1-\frac{WN}{C(\cdot )} \right ]\Delta r -\Delta e$$ Donde la relación entre el precio y el coste marginal viene dada por: $$(1-B)P=MC=\frac{G(W,R)}{E}$$ A partir de esta última ecuación, la diferencia entre la variación del precio y una media ponderada de las variaciones de los precios de los factores, el residuo dual o de Solow basado en el precio, se define como: $$\alpha \Delta w +(1-\alpha)\Delta r-\Delta p=-B(\Delta p-\Delta r)+(1-B)\Delta e$$ Donde las ponderaciones de los precios de los factores son la cuota salarial en la producción para los salarios y su complemento para los costes de capital ( $\alpha$ ) y ( $1-\alpha$ ).

No puedo entender cómo se llega a este último paso. He intentado diferenciar la ecuación del coste marginal y sustituirla por la segunda, pero me faltan algunos términos. El problema viene del siguiente documento: "¿Puede la competencia imperfecta explicar la diferencia entre las medidas de productividad primarias y duales? Estimates for U.S. Manufacturing" (1995).

* $\Delta x$ es la diferencia logarítmica de la variable X.

Answer 1

La ecuación (4b) del documento da: $$ \Delta mc_t = \frac{E_t N_t W_t}{Y_t G(.)}\Delta w_t + \frac{E_t K_t R_t}{Y_t G(.)} \Delta r_t - \Delta e_t. \tag{I} $$ A continuación tenemos también la ecuación (5) en el documento: $$ (1-B)P_t = MC_T = \frac{G(.)}{E_t}. \tag{II} $$ Ahora sustituye $(II)$ en $(I)$ para conseguirlo: $$ \Delta mc_t = \frac{N_t W_t}{P_t Y_t (1-B)}\Delta w_t + \frac{K_t R_t}{P_t Y_t (1-B)} \Delta r_t - \Delta e_t. \tag{III} $$ Ahora, definimos el coste salarial sobre los ingresos totales como $\alpha_t$ . $$ \alpha_t = \frac{N_t W_t}{P_t Y_t}. \tag{IV} $$ Además, por la hipótesis del SIR, tenemos que $\frac{N_t W_t}{C(.)} + \frac{R_t K_t}{C(.)} = 1$ . Dividiendo esto por $P_t Y_t/C(.)$ y utilizando $C(.) = G(.)Y_t/E_t$ como la ecuación (2) del documento, obtenemos: $$ \frac{N_t W_t}{P_t Y_t} + \frac{R_t K_t}{P_t Y_t} = \frac{C(.)}{P_t Y_t} = \frac{G(.)Y_t}{E_t P_t Y_t} = \frac{G(.)}{E_t P_t} = (1-B) \tag{V} $$ La última igualdad viene de viene de $(II)$ Utilizando $(IV)$ en $(V)$ da: $$ \frac{R_t K_t}{P_t Y_t} = (1-B) - \alpha_t. \tag{VI} $$ Ahora sustituye $(IV)$ y $(VI)$ en $(III)$ para conseguirlo: $$ \Delta mc_t = \frac{\alpha_t}{(1-B)} \Delta w_t + \frac{1 - \alpha_t - B}{(1-B)}\Delta r_t - \Delta e_t. \tag{VII} $$ También se puede diferenciar la primera parte de $(II)$ da $\Delta p_t = \Delta mc_t$ así que sustituyendo esto en $(VII)$ (y multiplicando ambos lados por $(1-B)$ finalmente produce: $$ \Delta p_t (1-B) = \alpha_t \Delta w_t + (1 - \alpha_t - B) \Delta r_t - \Delta e_t. \tag{VIII} $$ La expresión que buscas es una simple reordenación de $(VIII)$ .