Derivación de la varianza del modelo G2++

Question

Estoy estudiando el modelo G2++ en el libro de Brigo(2007).

El modelo construido es el siguiente,

$$ r(t) = x(t) + y(t) + (t), \quad r(0) = r_0\\ $$ con la dinámica de $dx(t)$ y $dy(t)$ descrito por: \begin{align} dx(t) &= -ax(t)dt + dW_1(t), \quad x(0) = 0,\\ dy(t) &= -by(t)dt + dW_2(t),\quad y(0) = 0,\\ \end{align} et $dW_1(t)\cdot dW_2(t) = dt$ .

El problema: Cuando calculamos la varianza, hay algo que no puedo derivar, que se describe a continuación:

$$^T_t(T-u)dx(u) = -a^T_t(T-u)x(u)du + ^T_t(T-u)dW_1(u)$$ Entonces, $$^T_t(T-u)x(u)du = x(t)^T_t(T-u)e^{-a(u-t)}du + ^T_t(T-u)^T_te^{-a(u-s)}dW_1(s)du.$$

He intentado derivar la integral anterior, $\int_t^T (T-u) x(u) \: du$ pero fracasó.

Quiero saber cómo derivar esta ecuación. Especialmente, en qué lugar del mundo $e^{-a(u-t)}$ y $^T_t(T-u)^T_te^{-a(u-s)}dW_1(s)du$ de la ecuación anterior?

La imagen de abajo es sólo la fuente cruda de mi texto:

Answer 1

Se trata de una aplicación directa de la solución a $dx_t$

La solución para este SDE ya ha sido derivado por Gordon en este puesto donde la única diferencia ( en su SDE especificado ) es un cambio de signo en el término de la deriva. A partir de la respuesta en el post enlazado, observamos que la solución a $dx_t$ en su caso viene dado por:

$$ x_T = x_t e^{-a(T-t)} + \sigma\int_{t}^T e^{-a(T-s)} \: dW_s. $$

Las derivaciones especificadas en la respuesta de Gordons implican la método del factor integrador que también se utiliza para derivar la solución del conocido modelo Vasicek de un factor a corto plazo.

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Dejemos que $0\leq t < u < T$ . Ahora podemos calcular la integral en cuestión:

\begin{align} \int_t^T (T-u) \cdot x_u \: du &= \int_t^T (T-u) \cdot \left[x_t e^{-a(u-t)} + \sigma\int_{t}^u e^{-a(u-s)} \: dW_s \right] \: du \\ &=x_t \int_t^T (T-u) e^{-a(u-t)} \: du + \sigma\int_t^T (T-u)\int_{t}^u e^{-a(u-s)} \: dW_s \: du. \end{align}

En conclusión, $e^{-a(u-t)}$ et $\sigma\int_t^T (T-u)\int_{t}^u e^{-a(u-s)} \: dW_s \: du$ proviene de la inserción de la solución de $dx_t$ en la integral anterior. Espero que esto proporcione algo de información.