Calcular el valor de la integral del proceso de Wiener $\int_{0}^t e^{\lambda u } dZ_u$

Question

No sé muy bien cómo resolver esta integral para poder hacer cálculos numéricos con ella. $\lambda$ es una constante, $u$ es el tiempo, y $Z_u$ es un proceso wiener. ¿Alguien puede dar alguna orientación sobre cómo resolverlo, por favor?

$f = \int_{0}^t e^{\lambda u } dZ_u$

Answer 1

Esto no es más que una integral de Wiener (integral estocástica con respecto a un movimiento browniano y un integrando determinista), por lo tanto una variable aleatoria gaussiana centrada con varianza $$\int_0^t{e^{2\lambda u}\mathrm{d}u} = \left[\frac{e^{2\lambda u}}{2\lambda}\right]_0^t = \frac{e^{2\lambda t} - 1}{2 \lambda}$$

Answer 2

Intentaré utilizar el Lemma de Ito para encontrar una solución. El lema de Ito establece que:

$$F(Z_t,t)=\int_0^t\left(\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial Z}a+0.5\frac{\partial^2 F}{\partial Z^2}b^2\right)du+\int_0^t\frac{\partial F}{\partial Z}bdZ_u$$

Tenemos $a=0$ y $b=1$ (porque $Z_t=\int_0^t0du+\int_0^t1 dZ_u$ ).

Mi estrategia es encontrar una función para que la integral $\int_0^te^{\lambda u}dZ_u$ aparece en la expresión del Lemma de Ito bajo $\int_0^t\frac{\partial F}{\partial Z}dZ_u$ Por lo tanto, intentaré $F(Z_t,t):=Z_te^{\lambda t}$ . Entonces tenemos:

$$Z_te^{\lambda t}=\\=\int_0^t\left(\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial Z}a+0.5\frac{\partial^2 F}{\partial Z_t^2}b^2\right)du+\int_0^t\frac{\partial F}{\partial Z}bdZ_u=\\=\int_0^tuZ_ue^{\lambda u}du+\int_0^te^{\lambda u}dZ_u$$

Ahora podemos aislar el término de interés en el lado derecho y escribir:

$$Z_te^{\lambda t}-\int_0^tuZ_ue^{\lambda u}du=\int_0^te^{\lambda u}dZ_u$$ .

Según la respuesta de @siou0107, lo anterior es una variable aleatoria normalmente distribuida con:

$$\mathbb{E}\left[Z_te^{\lambda t}-\int_0^tuZ_ue^{\lambda u}du\right]=0$$

$$Var\left(Z_te^{\lambda t}-\int_0^tuZ_ue^{\lambda u}du\right)=e^{2\lambda t}-\int_0^t Var\left[uZ_ue^{\lambda u}\right]du=e^{2\lambda t}-\int_0^t u^2e^{2\lambda u}du$$