Demostrar que $\mathbb{E}[(S+\xi)^2]\rightarrow 0$ como $n\rightarrow\infty$

Question

EDITAR: Mostrar esto usando el lema de Ito es fácil, eso NO es lo que quiero hacer. También me he dado cuenta de que $2\mathbb{E}[S\xi]\neq 2\xi\mathbb{E}[S]$ desde $\xi$ es también una variable aleatoria. Sin embargo, si este es el caso, no tengo idea de cómo calcular la expectativa de $S\xi$ de todos modos.

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Dado un movimiento browniano $W(t)$ Quiero demostrar que

\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}\left[\left|\sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}\left(W\left(\frac{(j+1)T}{n}\right)-W\left(\frac{jT}{n}\right)\right) - TW(T)+\int\limits_0^TW(t)dt\right|^2\right]=0 \tag1. \end{align}

Para simplificar, denotamos la suma por $S$ y establecer $\xi=-TW(t)+\int_{0}^TW(t) \ dt$ Ahora tenemos que \begin{align} \mathbb{E}[(S+\xi)^2]=\mathbb{E}[S^2]+2\xi\mathbb{E}[S]+\xi^2. \end{align}

Sin embargo, tengo problemas para calcular $\mathbb{E}[S^2]$ . Sé que $\mathbb{E}[S]=0$ desde

\begin{equation} \mathbb{E}[S]=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}\mathbb{E}[W_{j+1}-W_j]=0 \end{equation} ya que los incrementos son $\sim\mathcal{N}(0,T/n)$ por lo que la suma anterior es sólo una suma de ceros. Así que me queda mostrar que

\begin{equation} \lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}[S^2]=-\xi^2. \end{equation}

He probado lo siguiente: Para el movimiento browniano sé que $\mathbb{E}[S^2]=\text{Var}[S]$ así que

\begin{align} \mathbb{E}[S^2]&=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{j^2T^2}{n^2}\text{Var}[W_{j+1}-W_j]=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{j^2T^2}{n^2}\frac{T}{n}=\frac{T^3}{n^3}\sum_{j=0}^{n-1}j^2\\&={\frac {{T}^{3} \left( 2\,{n}^{2}-3\,n+1 \right) }{6{n}^{2}}} \end{align}

que da $T^3/3$ cuando $n\rightarrow\infty$ . Pero este no es el resultado que quiero.

Así que te preguntarás ¿cómo he acabado en (1)? Bueno, quería demostrar, utilizando la definición de la integral de Ito que

$$\int_0^TW(t)dt+\int_0^TtdW(t) = TW(T).$$

Lo reescribí como

$$\int_0^TtdW(t) = TW(T) - \int_0^TW(t)dt$$

y utilizó la definición: Si existe un proceso estocástico $I(T)$ tal que $||I_n(T)-I(T)||_2=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}[|I_n(T)-I(T)|^2]=0$ entonces $I(T)$ es una integral de Ito. Si se introduce $I_n(T)$ y $I(T)$ Llegué a (1).

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} \int_0^T W(t)dt \approx \sum_{j=0}^{n-1}\frac{T}{n}W\Big(\frac{jT}{n}\Big). \end{align*} Entonces, \begin{align*} &\ \sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}\bigg(W\Big(\frac{(j+1)T}{n}\Big)-W\Big(\frac{jT}{n}\Big)\bigg) - TW(T) + \int_0^T W(t)dt\\ \approx &\ \sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}\bigg(W\Big(\frac{(j+1)T}{n}\Big)-W\Big(\frac{jT}{n}\Big)\bigg) - TW(T) + \sum_{j=0}^{n-1}\frac{T}{n}W\Big(\frac{jT}{n}\Big)\\ =&\ \sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}W\Big(\frac{(j+1)T}{n}\Big) - \sum_{j=0}^{n-1}\frac{(j-1)T}{n}W\Big(\frac{jT}{n}\Big) - TW(T)\\ =&\ \sum_{j=0}^{n-1}\frac{jT}{n}W\Big(\frac{(j+1)T}{n}\Big) - \sum_{j=-1}^{n-2}\frac{jT}{n}W\Big(\frac{(j+1)T}{n}\Big) - TW(T)\\ =&\ \frac{(n-1)T}{n}W(T) - TW(T)\\ =&\ -\frac{T}{n} W(T). \end{align*}