Tengo una pregunta muy básica sobre las filtraciones y los derivados de Radon-Nikodym. Estoy leyendo el Andersen-Piterbarg, más en particular la Ec. (1.12). Ellos definen el proceso $\zeta(t) = E^P_t[\frac{dQ}{dP}]$ , donde $Q\sim P$ son medidas equivalentes. Ahora bien, su afirmación es que obviamente $\zeta(0) = 1$ . Ahora, veo que todo el espacio muestral $\Omega$ pertenece a $\mathcal{F}_0$ lo que implica que $\zeta(0) = 1$ (utilizando la definición de valor esperado). Pero por qué no se mantiene para todos los $t$ ? Quiero decir, ¿no son los $\mathcal{F}_t$ también álgebras sigma, y por lo tanto contienen $\Omega$ lo que implicaría, por la definición de expectativa condicional, $$ \int_{\Omega} \zeta(t, \omega) dP(\omega) = \int_{\Omega} E^P_t[\frac{dQ}{dP}](\omega)dP(\omega) \stackrel{def \:\&\: \Omega \in \mathcal{F}_t}{=} \int_{\Omega} \frac{dQ}{dP}(\omega)dP(\omega) = \int_{\Omega} dQ(\omega) = 1. $$ ¿Qué estoy haciendo mal aquí? ¿Tiene $\Omega$ no pertenecen a $\mathcal{F}_t$ ? Gracias de antemano.
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Rick L.
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En el momento $t=0$ , se obtiene \begin{align*} \zeta(0)=E^P_0\left[\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}\right]=E^P\left[\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}\right]=\int_\Omega \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}\mathrm{d}P=\int_\Omega \mathrm{d}Q = Q(\Omega)=1, \end{align*} porque $Q$ es una medida de probabilidad.
Pero en un momento general $t$ , tú no puede escribir $E_t^P[X]=\int_\Omega X \mathrm{d}P$ . Esa integral es la definición de la incondicional ¡expectativa! De hecho, sólo funciona en el momento $t=0$ si se asume que la filtración comienza con el trivial $\sigma$ -Álgebra $\{\emptyset,\Omega\}$ .
