Utilidad ordinal y transformaciones monótonas

Question

Si u(x) es una función de utilidad ordinal que representa la relación de preferencia (débil) R entonces

(a) cualquier transformación estrictamente monótona de u(x) también representa $R$ , ou

(b) cualquier transformación monótona de u(x) también representa $R$ .

¿Cuál es la proposición correcta, (a) o (b)?

Pensaba que (b) era la respuesta correcta, pero al buscar en varias fuentes online he encontrado ambas definiciones, así que ya no estoy seguro.

He pensado que (a) no puede ser correcta, porque la condición de una transformación monótona suele formularse como una condicional: F es una transformación estrictamente monótona de u si se cumple lo siguiente: (1) si $u(x)>u(y)$ entonces $F(u(x))>F(u(y))$ . Pero eso no tiene que ver con el caso (2) $u(x)=u(y)$ que representa xIy. ¿No sería $F(u(x))>F(u(y))$ ser compatible con (1) y (2), pero representar xPy? Pensando en ello, sin embargo, parece que lo mismo que (1) con "mayor o igual" tampoco serviría. ¿Las condiciones de monotonicidad se formulan como bicondicionales? Estoy confundido.

Answer 1

Hay que tener claras las definiciones. Tomemos:

(1) $u: X \to \mathbb{R}$ representa $\succsim$ si $u(x) \geq u(y) \iff x \succsim y$ .

(2) Una función $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es monótono si $z \geq w \implies h(z) \geq h(w)$ . $h$ es estrictamente monótona si $z > w \implies h(z) > h(w)$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que toda función estrictamente monótona es monótona. ¿Por qué? Pues porque $z \geq w$ y hay que comprobar dos casos: (i) $z > w$ (i) aplicar la definición; (ii) $z = w$ Entonces $h(z) = h(w)$ por la definición de igualdad (esto es porque $\mathbb{R}$ es un conjunto totalmente ordenado).

Así que inmediatamente vemos que su condición (b) implica su condición (a). Sin embargo, (b) es falsa (no entiendo la línea de razonamiento de Kanak, pero es ciertamente errónea, aunque quizás pueda ser racionalizada por definiciones no estándar). Para demostrar que es falso, necesitamos un contraejemplo. Dejemos que $X = \{x,y\}$ y que $x \succ y$ . Entonces $u(x) = 1$ y $u(y) = 0$ representa $\succsim$ . Además, $h: z \mapsto 0$ es una transformación monótona. Pero, $h(u(x)) = h(u(y)) = 0$ no lo hace.

De hecho, este ejemplo demuestra que es débilmente transformaciones monótonas que destruyen la información (no necesitan ser invertibles), lo que en términos de la representación, indica que la preferencia estricta se colapsa en una desigualdad débil.

Demostrar que (a) se cumple es una aplicación directa de las definiciones. (Sugerencia: demuestre que la monotonicidad estricta puede definirse mediante un enunciado bicondicional).