Supongamos, para simplificar, que el tiempo de vencimiento de una opción es $1$ el precio inicial de las acciones es $1$ y no hay rentabilidad por dividendos y la rentabilidad libre de riesgo es $0$ .
¿Cómo se puede demostrar que lo siguiente es válido para la volatilidad implícita : $$ \sigma_{\operatorname{imp}}^2 = \operatorname{O}(\log K)$$
Donde $K$ es el precio de ejercicio de la opción.
Anotaciones:
$T,K$ son el vencimiento y el strike de una call vainilla de precio $C(T, K)$ .
$(S_t)_{t\in [0,T]}$ el proceso de precios del subyacente.
$\mathbb{Q}$ es la medida de riesgo neutral.
$x(T,K) = \log(K/S_0) - rT$ es el logaritmo del dinero.
Fijar una matricialidad $T^* > 0$ y definir :
$$C(K) := C^{BS}(T^*, K, \sigma_{imp}(K))$$
S.t el R.H.S es el precio Black-Schiles de una call vainilla con strike $K$ y la madurez $T^*$
Si $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left(S_{T^*}^2\right) < \infty$ se puede demostrar fácilmente que :
$$\forall \ K > 0 : \quad C(K) \leq e^{-rT^*} \frac{\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left(S_{T^*}^2\right)}{4K}$$
Demostraremos la siguiente desigualdad : $$ \exists \ \kappa > 0, \ \forall \ x > \kappa : \sigma_{imp}^2(x(K)) \leq 2\frac{x(K)}{T^*}\quad \quad (*)$$
En primer lugar, obsérvese que al utilizar el límite del precio de compra tenemos : $$\lim_{x\to +\infty} C(K(x)) = 0 \quad \quad (1)$$
Sabiendo que $\sigma \mapsto C^{BS}(T^*, K, \sigma)$ es continua y creciente, basta con demostrar que : $$C^{BS}(T^*, K, \sigma_{imp}(x)) \leq C^{BS}(T^*, K, \sqrt{2\frac{x(K)}{T^*}})$$
Ahora, utilizando la regla de l'hôpital podemos demostrar que :
$$ \lim_{x\to +\infty} C^{BS}(T^*, K, \sqrt{2\frac{x(K)}{T^*}}) = \frac{S_0}{2}$$ Así que..: $$ \exists \ A > 0, \ \forall \ x>A: \quad C^{BS}(T^*, K, \sqrt{2\frac{x(K)}{T^*}}) - \frac{S_0}{2} \geq - \frac{S_0}{4}$$ De modo que : $$ \exists \ A > 0, \ \forall \ x>A: \quad C^{BS}(T^*, K, \sqrt{2\frac{x(K)}{T^*}}) \geq \frac{S_0}{4}$$
Por (1), la definición del límite da: $$\exists \ B > 0, \ \forall \ x>B: \quad C(K(x)) \leq \frac{S_0}{4}$$ Poniendo $\kappa := \max(A,B)$ completa la prueba.
Ahora, expresando (*) en la forma de la huelga en lugar de la logaritmia, se demuestra que : $$ \sigma_{imp}^2(K)= \underset{K\to +\infty}{\mathcal{O}}(\log(K))$$
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