¿Cómo es que $1 + R = q_u · u + q_d · d $ seguir de $d ≤ (1 + R) ≤u$ en el modelo de precios binomial?

Question

He estado leyendo Tomas Bjork's Teoría del arbitraje y dice:

Decir que $d (1 + R) u$ es equivalente a decir que $1 + R$ es un combinación convexa de u y d, es decir $1 + R = q_u · u + q_d · d $

Entiendo por qué la condición $d (1 + R) u$ debe mantener para que no haya una oportunidad de arbitraje, y también entiendo que $1 + R = q_u · u + q_d · d $ significa que la rentabilidad esperada de la acción es igual a la rentabilidad libre de riesgo, pero ¿cómo implica esta igualdad el mantenimiento de la desigualdad? ¿Cuál es la prueba para llegar a esta combinación convexa?

Answer 1

La igualdad $1 + R = q_u · u + q_d · d $ no es especialmente significativo ni difícil de probar.

De hecho, cualquier número $b$ puede escribirse como una combinación lineal de otros 2 números arbitrarios distintos $a,c$ : $b=qa+(1q)c$ . (Fácil: sólo hay que poner $q=\frac{bc}{ac}$ ). Pero además si $a\le b\le c$ entonces es un convexo combinación lineal, es decir $0\le q \le 1$ y $0\le(1q) \le 1$ y esto creo que es el punto esencial aquí, $q$ estará entre 0 y 1. (Aviso de spoiler: más adelante en el libro Bjork argumentará que como q está entre 0 y 1 se puede interpretar como una probabilidad).

Has citado un pasaje de Bjork, no tengo acceso al libro ahora mismo, pero una declaración más completa de lo que Bjork intenta decir sería:

Decir que $d (1 + R) u$ es equivalente a decir que $1 + R$ es un convexo combinación de u y d, es decir $1 + R = q_u · u + q_d · d $ , donde está garantizó que $0\le q_u,q_d \le 1$ .

La parte final (las desigualdades para las dos q) es la más importante. De la "desigualdad de no arbitraje" $d (1 + R) u$ deducimos que $q_u$ es una "pseudoprobabilidad", es decir, un número entre 0 y 1.