Mark Joshi, Quant Interview Question problem 2.34; replicar una opción digital en un árbol binomial simétrico de 4 pasos

Question

Pregunta:

Equipo $A$ y el equipo $B$ en una serie de $7$ juegos, quien gane $4$ juegos primero gana. Quieres apostar $100$ que su equipo gane la serie, en cuyo caso recibirá $200$ o $0$ si pierden. Sin embargo, el corredor sólo permite apostar en partidos individuales. Puede apostar $X$ en cualquier juego individual ese día antes de que ocurra para recibir $2X$ si gana y $0$ si pierde. ¿Cómo se consigue el pago deseado? En concreto, ¿qué se apuesta en el primer partido?

Pensamientos:

Mi idea inicial era dividir este problema en términos de combinatoria y probabilidad, planteando preguntas como: ¿cuántas combinaciones posibles hay para que gane uno de los dos equipos en particular? ¿Cuál es la probabilidad de que $A$ gana?, ¿cuál es la probabilidad $A$ victorias dadas $B$ gana el primer partido..., etc.

Me quedé un poco perplejo con esta pregunta así que recurriendo a la solución el autor sugiere que bueno esto es solo replicar un $4$ -árbol binomial simétrico. Continuando no pude seguir su solución, me preguntaba si había otras formas de responder a este problema. Cualquier sugerencia u orientación es muy apreciada.

Answer 1

La respuesta anterior sólo es confusa porque falta la cantidad de la apuesta.

Tiene una serie de eventos, sólo se le permite apostar en eventos individuales.

Quieres construir algo de tal manera que la recompensa dependa de los distintos resultados:

Ahora tenemos que rellenar los espacios en blanco - las ganancias actuales, y la apuesta en cada punto. para cada nodo $n_{ij}$ la ganancia actual debe ser el valor en los nodos anteriores $\pm$ la apuesta (dependiendo de si se trata de una victoria o una derrota).

Las primeras capas son bastante triviales:

si tengo X, y apostar Y me deja con 0 si pierdo, entonces X debe ser igual a Y. y si ganar me deja con 2Y, entonces X = la mitad de las ganancias. Así que el nodo final me tiene con un saldo de 100, y apostando 100. Hago lo mismo para todos los nodos en los que puedo inferir lo mismo:

Tenga en cuenta que sólo puede rellenar los nodos en los que conoce los dos resultados posibles. Afortunadamente, estos siempre existen. Ahora rellena el nodo del medio donde el resultado sería 2-2, y luego todas esas diagonales:

Y entonces se llega a la misma respuesta que la anterior.

Sin embargo, mañana pensaré en cómo hacerlo con sólo 4 nodos.