La propiedad de Markov dicta que los estados futuros de un proceso estocástico sólo dependen de su estado actual, no de los estados anteriores. En un entorno discreto, esto se puede escribir como:
$$\mathbb{P}(X_{n+1}=x|X_n=x_n,X_{n-1}=x_{n-1)},...,X_0=x_0)=\mathbb{P}(X_{n+1}=x|X_n=x_n)$$
En finanzas, queremos que los precios de los activos, como las acciones, satisfagan la propiedad de Markov: digamos que el precio de las acciones era de 100 la semana pasada y ha subido un 10% hasta 110: la probabilidad de que suba otro 10% o de que baje un 10% no debería depender de lo que ocurrió la semana pasada; sólo debería depender del estado actual del mundo.
La propiedad de Markov también se denomina "ausencia de memoria": de forma un tanto intuitiva, el comportamiento de un activo no debería depender del "camino" que siguió para llegar al estado actual; los activos no deberían "recordar" su pasado para conducir sus estados futuros (si pudiéramos determinar el precio de las acciones en función del pasado, sería fácil ganar dinero, ¿no? El hecho de que todo el mundo lo intente y la mayoría fracase a largo plazo sugiere que, efectivamente, los activos del mundo real son markovianos).
La propiedad de martingala es importante para la fijación de precios de los derivados, y está relacionada con el coste de pedir y prestar dinero. En pocas palabras, en la "expectativa" (donde "expectativa" representa el operador matemático que establece el precio futuro libre de arbitraje), queremos que los precios de los activos sean iguales a su valor actual compuesto a la tasa de préstamo de dinero; de hecho, como se demuestra en el Teorema Fundamental de la Fijación de Precios de los Activos.
P.D.: nótese que no todos los procesos de Markov son martingalas, como se discute en esta pregunta .
