Ecuación 3.3.8 en Mostly Harmless Econometrics

Question

Supongamos que $S_i$ se distribuye de forma continua, no necesariamente negativa. La función de expectativa condicional de interés es $h(t):=E[Y_i|S_i=t]$ tiene derivación $h'(t)$ .

La ecuación 3.3.8 de Mostly Harmless Econometrics es:

$$\frac{E[Y_i(S_i- E[S_i])]}{E[S_i(S_i-E[S_i])]} = \frac{\int h'(t)\mu_t dt}{\int \mu_t dt} $$ donde $\mu_t :=[E[S_i|S_i\ge t]-E[S_i |S_i<t]][P(S_i\ge t)[1-P(S_i\ge t)]]$ y las integrales recorren el soporte de $S_i$ .

Esa ecuación no es obviamente cierta para mí y estoy buscando una prueba.

Answer 1

El apéndice de esa sección en Mostly Harmless, sección 3.5, tiene una derivación.

$$Cov(Y_i,S_i) = E[h(S_i)(S_i-E[S_i])]$$

Dejemos que $k_{-\infty}=\lim_{t\rightarrow -\infty} h(t)$ . Por el teorema fundamental del cálculo,

$$h(S_i)=k_{-\infty} +\int_{-\infty}^{S_i} h'(t)dt $$

Así, $$ E[h(S_i)(S_i-E[S_i])] = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^{S_i} h'(t) (s-E[S_i])g(s)dtds$$

donde $g(s)$ es la densidad de $S_i$ en $s$ . Aplica el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración, $$ E[h(S_i)(S_i-E[S_i])] = \int_{-\infty}^\infty h'(t)\int_{t}^{\infty} (s-E[S_i])g(s)dtds$$

La integral interna es $E[S_i|S_i \ge t]Pr(S_i\ge t)+E[S_i]Pr(S_i \ge t) $

$= E[S_i|S_i \ge t]Pr(S_i\ge t)+(E[S_i|S_i \ge t]Pr(S_i \ge t) + E[S_i|S_i < t]Pr(S_i < t))Pr(S_i \ge t) $

$=\mu_t :=(E[S_i |S_i \ge t]-E[S_i |S_i <t])(Pr(S_i \ge t)(1-Pr(S_i \ge t)$

A continuación, se establece $S_i =Y_i$ el denominador puede derivarse de forma similar.