Teóricamente: no.
A efectos prácticos: sí; dado que los riesgos son pequeños riesgos, ver estas notas de clase en la p76 .
Estos son los antecedentes y un ejemplo que muestra por qué puedes tener problemas:
Dadas dos composiciones de cartera $P_i,P_j$ con $(\mu_i,\sigma_i)$ y $(\mu_j,\sigma_j)$ el agente prefiere $i$ en $j$ si
$E(u(P_i))\geq E(u(P_j))$ .
En su ejemplo, la aproximación de Taylor es
$$\begin{align} E\left[u(1+x)\right]&=E\left[u(1+\mu+x-\mu)\right]\\ &=E\left[u(1+\mu)+\sum_{i=1}^{\infty}\left.\frac{\partial^k u}{\partial x^k}\right|_{x=(1+\mu)}\frac{(x-\mu)^k}{i!}\right]\\ &\approx u(1+\mu)+\frac{1}{2}u''(1+\mu)\sigma^2\\ &\equiv \tilde{E}_2[u(1+x)] \end{align} $$
Esta aproximación se mantiene bien en la mayoría de los casos, pero se romperá en los casos de esquina ya que los términos de orden superior se pierden en la aproximación. Tenga en cuenta que cada contribución de los términos de orden superior es negativo; así podemos tener $E_2(u)$ inducir un ordenamiento diferente de las oportunidades de inversión que $E(u)$ , como $E_2(u)$ no considera todos los efectos de orden superior.
He aquí un ejemplo (un tanto artificioso) : Dadas las dos distribuciones normales de la tabla siguiente, vemos que la aproximación de Taylor de segundo orden (E2) da preferencia a la distribución 2 sobre la 1, lo mismo ocurre al aumentar la longitud de la aproximación de Taylor hasta el sexto orden (E4,E6). Sólo después de incorporar el octavo orden (o más), vemos que la aproximación de Taylor revela la verdadera relación de preferencia, es decir, que se prefiere la distribución 1 sobre la 2.
i mu sigma E2 E4 E6 E8 .. E(u)
1 0.0795066 0.10 - - - + .. +
2 0.0800000 0.11 + + + - .. -
Para la mayoría de los fines prácticos, este error debería ser lo suficientemente pequeño. Por ejemplo, cuando se comparan opciones de inversión, el límite de error debe ser tan estrecho que se pueda trabajar con resultados aproximados.
¿HTH?
