A primera vista de esta serie temporal, ¿diría que es estacionaria?
Puedo ver fácilmente algo de "estacionalidad", lo que significa que esto no es estrictamente estacionario ya que la distribución no será la misma; mayor varianza alrededor de 1987 y 2008. ¿Pero es débilmente estacionario? El valor esperado en cualquier punto de tiempo será cero, así que diré que sí es débilmente estacionario. ¿Estoy en lo cierto? 
Podemos hablar de si un proceso estrictamente estacionario o débilmente estacionario podría describir útilmente esos datos. Mi respuesta a ambas sería que sí.
También tengo problemas con otros textos que la gente ha escrito aquí.
La estacionariedad y la ergdocidad son propiedades importantes de las series temporales para un proceso estocástico . Si el pasado y el futuro se extraen de la misma distribución, podemos aprender sobre la distribución del pasado y luego utilizar lo aprendido para decir algo sobre el futuro. Sin estacionariedad, estamos en cierto modo perdidos.
Dado un proceso estocástico matemáticamente bien definido, podemos decir si satisface cualquiera de las dos definiciones de estacionariedad (o no). Eso es matemática pura.
La estacionalidad es NO una propiedad matemática de los datos. Dados unos datos, podemos hablar de si un proceso estacionario podría haber generado estos datos o si los datos empíricos pueden ser descritos útilmente por un proceso estacionario. Pero esto no es un ejercicio de matemáticas puras. Es un ejercicio de estadística y juicio.
Hay una famosa cita del estadístico George E. P. Box que dice que "todos los modelos son erróneos, pero algunos son útiles". Cuando construimos un modelo para los datos, es casi seguro que nos equivocamos. Según la filosofía de Box, lo que importa en cambio es si el modelo es útil.
La gran conclusión que saco de la inspección visual de ese gráfico es que hay una agrupación de volatilidad. Un modelo extremadamente simple y estacionario con volatilidad estocástica también puede generar agrupación de volatilidad. Por ejemplo algo como:
$$ r_t = \mu + \sigma_t \epsilon_t$$ $$ \sigma_t = a + b \sigma_{t-1} + u_t $$
¿Capta esto una característica clave de los datos (es decir, una simple noción de agrupación de la volatilidad)? Sí. ¿Tiene mi modelo problemas? Sí. ¿Es útil? Depende de la pregunta.
Probablemente puede se modela mediante un proceso débilmente estacionario.
Citando la sección 1.2.1 de estas notas de clase :
Los rendimientos [de los activos] [...] suelen fluctuar en torno a un nivel constante, sugiriendo una media constante a lo largo del tiempo. [...] De hecho, la mayoría de los rendimientos de los activos pueden modelarse como un proceso estocástico con al menos dos primeros momentos los dos primeros momentos.
Matemáticamente, una serie temporal $\{ Y_t \}$ es débilmente estacionario si, para todos los índices de tiempo $k,s,t$
De una inspección visual de su serie de rendimientos de activos,
Recorramos mentalmente las implicaciones de la estacionariedad en el S&P 500. En primer lugar, la función de probabilidad para $\log(p_{t+\Delta{t}})-\log(p_t)$ es la distribución secante hiperbólica, que tiene una media y una varianza, pero no covarianza. Así que, a primera vista, debería ser automáticamente estacionaria, pero esto no tiene en cuenta una definición.
Al S&P 500 se le añaden y se le quitan miembros constantemente. Es de suponer que cada empresa tiene su propia media y varianza logarítmica. Por lo tanto, cada vez que una empresa es eliminada y sustituida, DEBE cambiar la media logarítmica futura a largo plazo de la media logarítmica pasada a largo plazo. La alternativa es creer que todo el capital tiene la misma media de rendimiento logarítmico.
Debería haber picos estructurales en cada trimestre. Además, por política, el S & P 500 solía contener ADRs, por lo que el riesgo de divisas también estaba presente. Ahora sólo contiene empresas estadounidenses. No puedo imaginar que una serie así pueda considerarse estacionaria, y mucho menos que tenga propiedades estables.
La única forma en la que se podría discutir seriamente como estacionario sería adoptando el enfoque subjetivo bayesiano en el que la media y la varianza no se consideran puntos, sino que se extraen de una distribución por naturaleza. En ese caso, podría discutirlas, pero probablemente debería tratar de defender que las empresas añadidas y eliminadas eran lo suficientemente similares como para que esa afirmación subjetiva sea válida.
A veces no hace falta una prueba, basta con pensar en la lógica de las implicaciones.
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