Olivier Gossner - Protocolos seguros o cómo la comunicación genera correlación

Question

El papel de Olivier Gossner en Security Protocols en 1998 tiene algunas definiciones que me confunden demasiado. Citaré aquí estas definiciones y mis preguntas y espero que alguien esté familiarizado con estas nociones.

$\textit{Question 1:}$ $I$ es un conjunto finito de jugadores y y $G=((S^i)_i,g)$ es un juego compacto, que viene dado por un conjunto compacto de estrategias $S^i$ para cada jugador $i$ y por una función de pago continua $g:S=\times S^i \to \mathbb{R}^{I}$ . También el conjunto mixto de estrategias se define como $\Sigma^i=\Delta(S^i)$ que es una forma estándar en la teoría de juegos, pero ¿por qué necesitamos la noción de compacidad de la topología?

$\textit{Question 2:}$ La estructura de la información $\mathfrak{I}=((X^i),\mu)$ viene dada por un conjunto finito de señales $X^i$ para cada $i$ y por una medida de probabilidad $\mu$ en $X$ . Cuando $x$ se dibuja según $\mu$ , jugador $i$ es informado de la coordenada $x^i$ . ¿Por qué necesitamos definir la estructura de información como un conjunto de medidas que es finito y qué significa que ahora la medida de probabilidad?

$\textit{Question 3:}$ Un mecanismo de comunicación es un triple $\mathfrak{C}=((T_i)_i, (Y_i)_i , l )$ , donde $T_i$ est $i's$ conjunto finito de mensajes, $Y_i$ est $i's$ conjunto finito de señales, y $l: T\to \Delta(Y)$ es la función de la señal. Cuando $t$ es el perfil de los mensajes enviados por los jugadores, $y\in Y$ se dibuja según $l(t)$ y el jugador $i$ es informado de $y_i$ . $\mathfrak{T}_i=\Delta(T_i)$ representa el conjunto de mensajes mixtos para el jugador $i$ y $l$ se amplía a $\mathfrak{T}$ por $l(\tau)( y)=\mathbb{E}_{\tau} l(t)( y)$ . Estoy totalmente perdido en este punto. ¿Qué es esto? $\tau$ medida de probabilidad y cuál es el significado de $l(t)(y)$ ¿Significa esto que $l(t,y)$ ? Nunca he visto esta simbología $l(t)(y)$ de nuevo. Aparentemente, la forma en que se define el mecanismo de comunicación proviene de la teoría de la medida, pero ¿cómo llegó a la $l$ definida bajo un $\tau$ ¿medida de probabilidad?

También me cuesta entender las definiciones $2.1$ a $2.5$ pero me detendré aquí para encontrar alguna ayuda con lo básico. Gracias de antemano.

Answer 1

$\textit{Question 1:}$ Como explica Nav89, la compacidad de los conjuntos de estrategias y la continuidad de la función de pago son necesarias para garantizar la existencia del equilibrio.

$\textit{Question 2:}$ No estoy seguro de entender realmente su pregunta. La suposición de que el conjunto de señales es finito es por comodidad: las distribuciones de probabilidad finitas son fáciles de trabajar. Una medida de probabilidad no es más que una distribución de probabilidad. Así que dado que obtengo la señal $x_i$ Tendré alguna creencia sobre las señales de los demás $x_{-i}$ . Como se define en la sección 2.2., en un juego ampliado por una estructura de información, los jugadores condicionan su comportamiento en el juego a la señal que reciben. Estas señales actúan así como un dispositivo de coordinación (por ejemplo, si el sol brilla, hacemos XYZ...).

$\textit{Question 3:}$ Un mecanismo de comunicación es otra forma de permitir que los jugadores se coordinen en el juego. Los jugadores envían mensajes al mecanismo, y entonces los jugadores vuelven a observar señales sobre las que condicionan su comportamiento (piensa, yo veo que en NYC brilla el sol, tú ves que en LA llueve, y el mecanismo nos enviará alguna información sobre lo que cada uno dijo).

Así que si enviamos mensajes $(t_1,t_2)$ entonces el mecanismo envía señales según una lotería $l(t_1,t_2)$ . Aquí, $l(t_1,t_2)(x)$ es la probabilidad de que el perfil de la señal $x$ es enviado por el mecanismo de esta lotería.

Ahora, supongamos que no enviamos un solo mensaje $t_1$ o $t_2$ al mecanismo, pero cada uno de nosotros envía un mensaje mixto $\tau_1$ y $\tau_2$ ---distribuciones de probabilidad sobre los mensajes--- al mecanismo. Entonces, $l(\tau_1,\tau_2)(x)$ es la probabilidad de que la señal $x$ es devuelto por el mecanismo si envío un mensaje mixto $\tau_1$ y envías un mensaje mixto $\tau_2$ .

Así que si $\tau_i(t_i)$ es la probabilidad de que $i$ envía $t_i$ en el mensaje mixto $\tau_i$ entonces

$$l(\tau_1,\tau_2)(x)=\sum_{t_1}\sum_{t_2} \tau_1(t_1)\tau_2(t_2)l(t_1,t_2)(x).$$