Cambio de numéraire para dos activos de riesgo sin cuenta bancaria (¿fórmula de Margrabe?)

Question

Estoy considerando dos activos de riesgo siguiendo la habitual GBM correlacionada dada por

$$\frac{\mathrm{d}S^{(i)}_t}{S^{(i)}_t}=\mu_i\mathrm{d}t+\sigma_i\mathrm{d}W^{(i)}_t,\quad i\in\{1,2\}$$

con

$$\mathrm{d}W^{(1)}_t\mathrm{d}W^{(2)}_t=\rho\mathrm{d}t.$$

Esto es lo que entiendo actualmente: Sé que en general,  en un mercado completo y sin arbitraje si utilizo $S^{(1)}_t$ como mi numéraire, puedo desarrollar una medida $\mathbb{Q}_1$ tal que $\tilde{S}^{(2)}_t=\frac{S^{(2)}_t}{S^{(1)}_t}$ es una martingala. Por el teorema de Girsanov, definiendo $\tilde{\sigma}=\sqrt{\sigma_1+\sigma_2-2\rho\sigma_1\sigma_2}$ y $\tilde{W}_t^{\mathbb{Q}_1}=\frac1{\tilde{\sigma}}\left(\sigma_2W^{(2)}_t-\sigma_1W^{(1)}_t\right)$ obtengo la ecuación de la deriva

$$\frac{\mathrm{d}\tilde{S}^{(2)}_t}{\tilde{S}^{(2)}_t}=\tilde{\sigma}\mathrm{d}\tilde{W}_t^{\mathbb{Q}_1}.$$

Soy consciente de que la fórmula de Margrabe es el objetivo final, pero algunos textos ( un ejemplo p. 35 ) que he leído incluyen un activo sin riesgo o una cuenta bancaria. En particular, para obtener las ecuaciones anteriores, pasan de la medida física $\mathbb{P}$ a la medida sin riesgo $\mathbb{Q}$ primero, y luego a la medida  $\mathbb{Q}_1$ . Otros afirman que no hay que imponer ninguna cuenta bancaria. Después de leer estos textos, ahora estoy confundido - si no hay tal activo / cuenta libre de riesgo s.t. todo el dinero debe ser invertido en estos activos de riesgo, entonces:

1. ¿Cuál es mi tipo de interés libre de riesgo (si es que lo hay, dado que estoy trabajando con dos activos de riesgo puro) bajo este numéraire?

2. ¿Es correcto afirmar que no puedo fijar el precio de todos los tipos de pago porque el mercado no está completo debido a la falta de activos sin riesgo, pero sí puedo fijar el precio de, por ejemplo, una opción spread porque resulta que podemos cubrirla? Si es así, ¿por qué somos capaces de utilizar este cambio de numéraire en primer lugar? ¿Cómo somos capaces de detectar si un determinado tipo de pago puede ser cubierto o no? ¿Es $|\rho|<1$ ¿es una condición suficiente para que el mercado sea completo? ¿Qué condiciones son necesarias y/o suficientes?

3. ¿Es posible construir un proceso sin riesgo $\mathrm{d}B_t=r_tB_t\mathrm{d}t$ a través de una cartera de autofinanciación replicada por los dos activos? Tengo la sensación de que es imposible en mercados incompletos.

Answer 1

Con la medida de neutralidad al riesgo, ambas acciones siguen los MGB \begin{align} S^{(i)}_t=S^{(i)}_0\exp\left((r-q_i)t+\sigma_iW^{(i)}_t-\frac{\sigma_i^2t}{2}\right)\,,\quad i=1,2\,, \end{align} donde la constante $r$ es el tipo de interés sin riesgo y la constante $q_i$ es el stock $S^{(i)}$ de los dividendos. El Fórmula Margrabe dice que el valor de la opción de intercambio de acciones $S^{(2)}$ para las acciones $S^{(1)}$ en el momento $T$ es \begin{align}\tag{1} V&=e^{-q_1T}S^{(1)}_0N(d_1)-e^{-q_2T}S^{(2)}_0N(d_2)\,,\\ d_1&=\frac{\ln(S^{(1)}_0/S^{(2)}_0)+(q_1-q_2+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\,,\\ d_2&=d_1-\sigma\sqrt{T}\,,\\ \sigma&=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_2\rho}\,. \end{align} Es cierto (y fue mencionado por William Margrabe en su trabajo original [1]) que en esta fórmula la tasa sin riesgo $r$ no se produce. Escribió que "esto puede parecer desconcertante". De hecho, esperamos con razón que la fórmula de Black Scholes con la huelga $K$ a

1. contienen la tasa sin riesgo,

2. sea un caso especial de la fórmula de Margrabe (1) cuando $\sigma_2=0$ y $q_2=0\,.$

De hecho, este es el caso: Cuando $\sigma_2=0$ y $q_2=0$ entonces $$ S^{(2)}_T=S^{(2)}_0e^{rT}\,. $$ Cuando $S^{(2)}_T$ es igual a la huelga Black-Scholes $K$ entonces

\begin{align} S_0^{(2)}=e^{-rT}K\,,\quad\quad d_1=\frac{\ln(S^{(1)}_0/K)+(q_1+r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\,,\quad\quad\sigma=\sigma_1 \end{align} y (1) se convierte en $$ V=e^{-q_1T}S^{(1)}_0N(d_1)-e^{-rT}KN(d_2) $$ como se esperaba.

Otras observaciones:

1. El modelo con dos poblaciones, cada una de las cuales sigue un GBM, es completo. Esto significa que cada resultado que depende de las dos acciones al vencimiento $T$ puede reproducirse con una estrategia de autofinanciación en las dos poblaciones. Véase [1].

2. El hecho de que no necesitan el activo sin riesgo $B_t=e^{rt}$ en la réplica de la retribución $(S^{(1)}_T-S^{(2)}_T)^+$ no significa que "nos falte". No es necesario. Eso es todo.

3. Un ejemplo de modelo incompleto sería uno en el que las acciones siguieran procesos más complicados, como tener volatilidad estocástica, o saltos con tamaños de salto estocásticos.

[1] W. Margrabe, The value of an option to exchange one asset for another. Revista de Finanzas Vol. 33, nº 1 (marzo de 1978), 177-186.