[No es una solución completa]
A diferencia de lo que sugiere su nombre, la log-linealización hace no implican la toma de registros de términos individuales en una ecuación. De lo contrario, la ecuación t no se mantendría. El enfoque general es tomar los logaritmos de ambos lados en su conjunto, y luego hacer una expansión de Taylor de estas dos funciones logarítmicas.
Sin embargo, esto no parece ser necesario aquí. Basta con explotar la aproximación $X_t \approx X(1-x_t)$ , donde $X$ es el valor de estado estacionario de $X_t$ et $x_t=\log(\frac{X_t}{X})$ Y, como sugiere Pedro en su comentario, a continuación, se conecta $X(1+x_t)$ donde $X_t$ aparece en su ecuación. En muchos casos, esto le da una ecuación que es lineal en $x_t$ (y $y_t, z_t$ etc.). Como esto es lo que quiere, ya está hecho. Sólo si eso no funciona, tienes que usar una expansión de Taylor.
Un ejemplo sencillo: $$ \alpha Y_t \frac{W_t}{P_t}\approx \alpha Y \frac{W}{P}(1+y_t)(1+w_t)(1+p_t)^{-1}\approx \alpha Y \frac{W}{P}(1+y_t+w_t-p_t) = \alpha Y \frac{W}{P}(1+y_t+mc_t) $$ En el último paso utilizamos $(1 + y_t)(1+w_t)\approx (1+y_t+w_t)$ , como $y_t$ et $p_t$ son "pequeños" y los términos mixtos $y_t p_t$ son, por tanto, aún más pequeños, por lo que se consideran despreciables. Una regla similar se aplica a la división.
Observa que en tu ejemplo se utilizan un par de "trucos" más. La forma en que está escrito, $\pi$ parece ser la tasa de inflación (neta) (digamos 0,02). Si es así, estos términos ya son lineales en $\pi_t$ por lo que no hay nada que log-linealizar ahí. Además, parece que los autores también descartan los términos mixtos para la inflación, porque $\pi_t \pi_t \approx 0$ . Así, por ejemplo, se obtiene $$ \Psi \pi_t(1+\pi_t) \approx \Psi \pi_t $$ Una vez que haya implementado este enfoque para todos los términos de la ecuación completa, puede obtener la relación de estado estacionario estableciendo todas las tapas pequeñas en cero. A continuación, puedes eliminar el estado estacionario de la ecuación, ya sea por división o por multiplicación (o ambas). Lo que queda es una relación en términos de desviación del estado estacionario. En tu ejemplo todavía tendrás que averiguar por qué $y_t$ desaparece y lo que $\delta$ significa.
