Condición Feller (Cox-Ingersoll-Ross) fuente

Question

Para el modelo Cox-Ingersoll-Ross $$\text{d}r_t = a(b-r_t)\text{d}t+\sigma\sqrt{r_t}\text{d}W_t$$ la condición (denominada "condición Feller") $$2ab\geq\sigma^2$$ garantiza que la solución está acotada por debajo de cero. Veo que se utiliza todo el tiempo, pero no puedo encontrar una buena fuente de citación... ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Para $x,K > 0 $ , denótese por $(X_t^x)_{t\geq 0}$ la única solución fuerte de la CIR sde a partir de $x$ en el momento 0.

Defina el siguiente tiempo de parada :

$$\tau_{K}^x := \inf\left\{t\geq 0 : \quad X_t^x = K \right\} $$

Definamos además la función $\psi$ definido en $\mathbb{R}_+^*$ por : $$ \forall \ x > 0 : \quad \psi(x) := \int_{1}^{x} y^{-\frac{2ab}{\sigma^2}}\exp(\frac{2ay}{\sigma^2})dy$$ Para $0< \varepsilon < x < K$ , defina el siguiente tiempo de parada : $\tau_{\varepsilon, K}^x = \min(\tau_K^x, \tau_{\varepsilon}^x)$ . Entonces, se puede demostrar fácilmente que $\tau_{\varepsilon, K}^x$ es a.s finito y para todo $x \in (\varepsilon, K)$ tenemos : $$ \psi(x) = \psi(\varepsilon)\mathbb{P}\left(\tau_{\varepsilon}^x < \tau_K^x\right) + \psi(K) \mathbb{P}\left(\tau_{\varepsilon}^x > \tau_K^x\right)$$ Ahora, supongamos que se cumple la condición de feller. Entonces, observando que $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\psi(x) = - \infty$ se puede demostrar que : $$\forall K> 0 : \quad \mathbb{P}\left(\tau_{0}^x < \tau_K^x\right) = 0$$ Y para que : $$ \mathbb{P}\left(\tau_{0}^x < \infty\right)=0$$