Solución de forma cerrada para el dimensionamiento óptimo de la posición de un solo culo con rendimientos previstos

Question

Digamos que observo un predictor $w_t \sim N(0,\sigma_1)$ para los rendimientos de un solo activo en el siguiente intervalo de tiempo:

$$ r_t = \alpha w_{t-1} + z_t $$ donde $z_t \sim N(0,\sigma_2)$ es inobservable e independiente de $w_{t-1}$ .

Quiero encontrar la función $f$ que mapea $w_t$ a una posición en el activo que maximice el Sharpe Ratio esperado de la siguiente $n$ de los retornos comerciales: $$\max_f \mathrm{E}\left[\frac{\sqrt{n}\sum_{i=1}^n p_i}{n \sqrt{\sum_{i=1}^n \left(p_i - \overline{p_i}\right)^2}} \right]$$ donde el beneficio en el paso de tiempo $t$ es $$p_t = r_t f(w_{t-1}) $$

¿Existe una forma fácil de encontrar el punto óptimo de control estocástico? $f$ sin ninguna restricción en su estructura?

EDIT: Como ha señalado Chris, había simplificado demasiado el problema al considerar sólo un paso. He modificado la descripción para que sea de n pasos.

Answer 1

Tal y como ha definido el ratio de Sharpe, es independiente de su posición. Usted ha $$ \mathrm{E}[rf(z_1)] = \alpha z_1 f(z_1) $$ y $$ \mathrm{Var}[rf(z_1)] = \sigma_2^2f(z_1)^2 $$ y por lo tanto $$ \frac{\mathrm{E}[rf(z_1)]}{\sqrt{\mathrm{Var}[rf(z_1)]}} = \frac{\alpha z_1}{\sigma_2} $$ independientemente de la función $f(z_1)$ .