¿Cuál es el precio de una opción de compra lookback en el modelo CRR sin arbitraje?

Question

Si consideramos el modelo CRR en dos períodos, es decir, T=2. Sea $S^1$ sea el activo de riesgo con $S_0^1=100$ y $S^0$ el vínculo con $S_0^0=1$ . Además, suponemos que el modelo está libre de arbitraje con $y_b=-0.1<r=0.05<y_g=0.2$ . Por lo tanto, una única medida martingala equivalente $\mathbb{Q}$ existe con $$\mathbb{Q}(\lbrace\omega\rbrace) =0.5^{Z_1(\lbrace\omega\rbrace)+Z_2(\lbrace\omega\rbrace)}\cdot 0.5^{2-Z_1(\lbrace\omega\rbrace)-Z_2(\lbrace\omega\rbrace)}$$ , donde $\omega\in\lbrace 0,1\rbrace^2$ . Además, la opción de compra lookback viene dada por $$\gamma (\omega)=S_2^1(\omega)-\min_{t\in\lbrace 0,1,2\rbrace}S_t^1(\omega)$$ . Veo que el precio de la opción depende mucho de estos números, pero quiero una aproximación general. En alguna literatura he encontrado que el precio de cobertura ( o precio libre de arbitraje) viene dado por $\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{f(S_2^1)}{(1+r)^2}\right]$ pero ¿cómo puedo determinar exactamente la función $f$ . Si fuera una opción de compra con un precio de ejercicio fijo $K$ es decir $\gamma' (\omega)=(S_2^1(\omega)-K)^+$ Supongo que el $f$ vendría dado por $f(x)=\max(x-K,0)$ . Pero, ¿cómo puedo modelar la dependencia de $\gamma$ en $\min_{t\in\lbrace 0,1,2\rbrace}S_t^1(\omega)$ ?

Answer 1

He pensado en ello y creo que en este caso no importa realmente cómo $f$ se ve exactamente, porque $f(S_2^1(\omega ))=\gamma (\omega)$ debería ser cierto. Entonces, con la fórmula de la medida neutral de riesgo equivalente $\mathbb{Q}$ dado anteriormente podemos calcular las probabilidades $Q((0,0))=Q((1,0))=Q((0,1))=Q((1,1))=0.25$ . Además, en el modelo CRR se cumple que $$S_t^1(\omega )=S_0^1(1+y_g)^{D_t(\omega)}(1+y_b)^{t-D_t(\omega)}$$ . Así que para los números anteriores obtenemos $$\begin{split} \frac{1}{(1+r)^2}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\gamma]&=\frac{400}{441}\left(\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_2^1]-\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\min_{t\in\lbrace 0,1,2\rbrace}S_t^1\right]\right)\\ &= \frac{400}{441}(0.25\cdot(81+108+108+144)-0.25\cdot(81+100+100+90))\\ &=15.87 \end{split}$$

¿Podría alguien validar esto? Además, no responde realmente a la pregunta sobre cómo proceder, si no se dan números concretos. ¿Cómo se debe abordar este problema en general?