Una opción binaria paga una cantidad de dinero si se produce un evento y cero en caso contrario. Las opciones binarias suelen utilizarse para asegurar las carteras frente a grandes caídas en el mercado de valores. El 25 de marzo de 2021, el precio de una opción binaria que paga un dólar si el S&P500 cae más de un 10% (por ejemplo, -10% y menos) dentro de un año a partir de hoy es de 0,30. Al mismo tiempo, el precio de una opción binaria que paga un dólar si el S&P500 aumenta más del 10% (por ejemplo, +10% y más) dentro de un año a partir de hoy es de 0,20. Utilizando un argumento de no arbitraje, obtenga el precio de una opción binaria que paga un dólar si el S&P500 se encuentra dentro de [-10%, 10%] dentro de un año a partir de hoy.
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Sean
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Asumiré que el tipo de interés es 0. El precio de una opción binaria es entonces el mismo que la probabilidad neutral al riesgo de que el evento ocurra $$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{1}_{S(T)\geq K}\right]=\mathbb{Q}\left[S(T) \geq K\right]$$ Denota el precio actual al contado $s$ . Tienes que encontrar $$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{1}_{0.9 s< S(T) <1.1 s}\right]=\mathbb{Q}\left[0.9s < S(T) <1.1s\right]$$ Usted sabe que $$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{1}_{S(T)\leq 0.9s}\right]=\mathbb{Q}\left[S(T) \leq 0.9s \right]=0.2$$ y $$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{1}_{S(T)\geq 1.1s}\right]=\mathbb{Q}\left[S(T) \geq 1.1s \right]=0.3$$ y en general tenemos que $$\mathbb{Q}\left[0.9s < S(T) < 1.1s\right]=1-\mathbb{Q}\left[S(T) \leq 0.9s \right]-\mathbb{Q}\left[S(T) \geq 1.1s \right]$$ Así que en este caso tenemos $$\mathbb{Q}\left[0.9s < S(T) < 1.1s\right]=1-0.2-0.3=0.5$$
user50229
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Creo que se puede construir simplemente una cartera equivalente a la doble opción digital (llamémosla $DO$ ) que desea cotizar, que cualitativamente se verá así (líneas punteadas):
La cartera de réplica debe contener:
- un bono de cupón cero que vence en un año (valor actual ( $t=0$ ) = \$ $\exp(-r \cdot (1 - t)\text{ years})$ );
- un cortocircuito digital válido si S&P cae un 10% o más (valor actual ( $t=0$ ) = \$ $-0.30$ );
- un cortocircuito digital válido si S&P aumenta un 10% o más (valor de la corriente ( $t=0$ ) = \$ $-0.20$ ).
Así que su opción $DO$ valdrá tanto como esta cartera, es decir $$ DO(t) = \exp(-r \cdot (1-t)) - 0.5 $$
En un año, si el S&P se mantiene dentro de $[-10 \%, \, 10\%]$ de su valor actual, entonces los dos digitales de su cartera se habrán quedado sin dinero, y la cartera rendirá \$ $ \exp(0) - 0 - 0 = 1 $ . Por el contrario, si el S&P termina fuera de ese rango, entonces uno de los digitales tendrá que pagar \$ $ 1 $ en su totalidad, por lo que su cartera valdrá \$ $ \exp(0) - 1 = 0 $ .
Este es exactamente el comportamiento que quiere simular para la opción que se le pide que reproduzca el ejercicio.
