Parece que la mayoría de las derivaciones del ratio de Sharpe son para carteras, pero yo sólo estoy siguiendo un único activo.
$SR = (r_p - r_f) / \sigma_p$ pero ¿qué derivaría con respecto a un caso de uso de optimización/ automatización?
Estoy tratando de entender cómo utilizan el ratio de Sharpe en este documento:
" Algoritmo de negociación mediante Q-Learning y aprendizaje por refuerzo recurrente ", por Xin Du, Jinjian Zhai, Koupin Lv.
Estoy de acuerdo en que el documento podría ser mucho más claro: lo que denomina "derivado del ratio de Sharp" es en realidad el "ratio de Sharpe diferencial" propuesto en un documento NIPS de Moody & Safell .
En la sección 2.2 de ese documento (citado), definen el ratio de Sharpe diferencial como una función de valor que representa la influencia de la rentabilidad de la estrategia de negociación $R_t$ realizado en el momento $t$ sobre el ratio de Sharpe $S_t$ . Esta cantidad es necesaria para aprendizaje en línea que se produzca.
Para un ratio de Sharpe $S_t$ el ratio de Sharpe diferencial $D_t$ es la derivada tomada con respecto a una tasa de decaimiento de la media móvil exponencial de primer orden $\eta$ en el primer y segundo momento de las devoluciones:
$D_t = \frac{d S_t}{d \eta} = \frac{B_{t-1} \Delta A_t - \frac{1}{2} A_{t-1} \Delta B_t}{(B_{t-1} - A_{t-1}^2)^\frac{3}{2}}$
donde $A_t$ y $B_t$ son estimaciones móviles exponenciales del primer y segundo momento de los rendimientos $R_t$ respectivamente:
$A_t = A_{t-1} + \eta \Delta A_t = A_{t-1} + \eta (R_t - A_{t-1})$
$B_t = B_{t-1} + \eta \Delta B_t = B_{t-1} + \eta (R_t ^2- B_{t-1})$
El documento no es muy específico en cuanto a la metodología para tomar el ratio de Sharpe derivado (DSR). Basándome únicamente en el subtexto, deduzco que el autor pretende diferenciar el ratio de Sharpe con respecto a sí mismo.
El autor es el que más se acerca a la especificación de DSR:
Desde el punto de vista económico, la relación aguda derivada es análoga a la utilidad marginal en términos de disposición a de soportar cuánto riesgo por un incremento unitario de la ratio de agudeza.
lo que me hace pensar que podría ser el cambio de SR con respecto a sí mismo.
En cualquier caso, empezamos con la definición de una derivada: $$\frac{dS}{d\tau}=\lim_{\tau \to 0}\frac{S[t+\tau]-S[t]}{\tau}$$
El documento dice además que en lugar de encontrar una solución simbólica para la derivada, el gradiente se mediría a través de múltiples pasos de tiempo. Así, podemos discretizar $\frac{dS}{S}$ como tal:
$$ \frac{\sum_{t}^T (S[\tau]-S[\tau-1])}{\sum_{t-1}^TS[\tau]}$$
...que se expande a:
$$ \left(\frac{r_{a(T))}-r_{m(T)}}{\sigma_{a(T)}}-\frac{r_{a(t)}-r_{m(t)}}{\sigma_{a(t)}}\right) * \left(\frac{\bar{r}_a-\bar{r}_m}{\bar{\sigma}_a}\right)^{-1}$$
lo que nos da algo parecido a la especificación del autor para una función de utilidad marginal de una ganancia incremental en la RS. En este caso, el "ratio de Sharpe derivado" (DSR) no es realmente una métrica de rendimiento en sí misma, sino más bien una métrica de sensibilidad a los cambios en el rendimiento ajustado al riesgo.
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