En microeconomía este teorema afirma que : dado un conjunto de consumo $X\subseteq\mathbb{R}^n$ si la relación de preferencia $\succcurlyeq$ es completa, transitiva y continua existe una función de utilidad $u$ y es continuo. No tengo ningún problema en la primera parte, pero al final, para demostrar la continuidad de $u$ se dice que basta con demostrar que $u^{-1}(a,b)$ está abierto para todos $a$ , $b \in\mathbb{R}$ . Bueno no entiendo esta parte, ¿hay alguien que me pueda ayudar?
Respuesta
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Alice
Puntos
6
Una función $f: X \to Y$ es continua si para todo conjunto abierto $V$ en $Y$ la preimagen $f^{-1}(V)$ está abierto en $X$ .
Cualquier subconjunto abierto de los reales, que no sea el conjunto vacío, es un intervalo abierto o la unión de intervalos abiertos. Obsérvese que $f^{-1}(A\cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$ . Como la unión de conjuntos abiertos es abierta, basta con considerar sólo la preimagen de un intervalo abierto para demostrar la continuidad de $u : X \to \mathbb R$ .
